如何证明形如6n＋1的质数有无穷个?大体思路我知道,就是不知道细节怎么证,所以请写详细些.如何证明形如6n＋1的质数有无穷个？大体思路我知道，就是不知道细节怎么证，所以请写详细些。

如何证明形如6n＋1的质数有无穷个?大体思路我知道,就是不知道细节怎么证,所以请写详细些.如何证明形如6n＋1的质数有无穷个？大体思路我知道，就是不知道细节怎么证，所以请写详细些。
如何证明形如6n＋1的质数有无穷个?大体思路我知道,就是不知道细节怎么证,所以请写详细些.
如何证明形如6n＋1的质数有无穷个？大体思路我知道，就是不知道细节怎么证，所以请写详细些。
如果没学过勒让德符号怎么办？

如何证明形如6n＋1的质数有无穷个?大体思路我知道,就是不知道细节怎么证,所以请写详细些.如何证明形如6n＋1的质数有无穷个？大体思路我知道，就是不知道细节怎么证，所以请写详细些。
除2,3外,任何质数均可以写成形如6n＋1的或者形如6n-1的形式
假设形如6n＋1的质数只有有限个,设之为
p1,p2,……,pn,pn为最大的6n+1型质数
那么,令q=4(p1*p2*……*pn)^2+3
可知q也是6n+1型数,但不能为任何6n+1型质数整除
设它有质因子p,那么,p只能是6n-1型质数
又因为勒让德符号(-3/p)=(-1/p)*(3/p)=(-1/p)*(p/3)*(-1)^(2*(p-1)/4)
由于对任意质数(-1/p)*(-1)^(2*(p-1)/4)=1恒成立
（即当p=4n+1时,(-1/p)=1；(-1)^(2*(p-1)/4)=1
当p=4n+3时,(-1/p)=-1；(-1)^(2*(p-1)/4)=-1）
又因为p是6n-1型 所以(p/3)=-1
故有(-3/p)=-1,与(-3/p)=1即p能整除q矛盾
可知q也为质数,q>pn且为6n+1型,与假设pn是最大的6n+1型质数矛盾.
所以,没有形如6n+1型的最大质数存在
因此,有无穷多个6n+1型质数.
这会很麻烦啊,给你做一下吧.
这里需要用一个引理,(其实就是高斯引理,我把(n/p)换掉了)
n^[(p-1)/2] mod p=(-1)^m mod p,这里m是指n,2n,...,(p-1)n/2诸数中模p的余数大于p/2
的数的个数.这里p是奇质数,n与p互质.(Gauss)
证法为
模p的余数大于p/2,可以写作模p的余数大于-p/2而小于0
因此对每一nx,x=1,2,...,(p-1)/2,都有nx≡r(x)(mod p),-p/2

设n=4*(p1*p2*...*pn)^2+3
则n与所有6n+1型素数互质，他的素因子只有6n-1型
而对于他任意素因子p,(-3/p)=(-1/p)*(3/p)=(-1/p)*(p/3)*(-1)^((p-1)/2)
p是6n-1型 所以(p/3)=-1
而(-1/p)*(-1)^((p-1)/2)恒等于1（分别讨论4n+1型和4n+3型）
所以与(-3...

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设n=4*(p1*p2*...*pn)^2+3
则n与所有6n+1型素数互质，他的素因子只有6n-1型
而对于他任意素因子p,(-3/p)=(-1/p)*(3/p)=(-1/p)*(p/3)*(-1)^((p-1)/2)
p是6n-1型 所以(p/3)=-1
而(-1/p)*(-1)^((p-1)/2)恒等于1（分别讨论4n+1型和4n+3型）
所以与(-3/p)=-1 矛盾 因此有无穷个6n+1型素数

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假设形如6n＋1的质数只有有限个，设之为
p1,p2,……,pn，pn为最大的6n+1型质数
那么，令q=4(p1*p2*……*pn)^2+3
可知q也是6n+1型数，但不能为任何6n+1型质数整除
设它有质因子p，那么，p只能是6n-1型质数
又因为勒让德符号(-3/p)=(-1/p)*(3/p)=(-1/p)*(p/3)*(-1)^(2*(p-1)/4)...

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假设形如6n＋1的质数只有有限个，设之为
p1,p2,……,pn，pn为最大的6n+1型质数
那么，令q=4(p1*p2*……*pn)^2+3
可知q也是6n+1型数，但不能为任何6n+1型质数整除
设它有质因子p，那么，p只能是6n-1型质数
又因为勒让德符号(-3/p)=(-1/p)*(3/p)=(-1/p)*(p/3)*(-1)^(2*(p-1)/4)
由于对任意质数(-1/p)*(-1)^(2*(p-1)/4)=1恒成立
（即当p=4n+1时，(-1/p)=1；(-1)^(2*(p-1)/4)=1
当p=4n+3时，(-1/p)=-1；(-1)^(2*(p-1)/4)=-1）
又因为p是6n-1型 所以(p/3)=-1
故有(-3/p)=-1，与(-3/p)=1即p能整除q矛盾
可知q也为质数，q>pn且为6n+1型，与假设pn是最大的6n+1型质数矛盾。
所以，没有形如6n+1型的最大质数存在
因此，有无穷多个6n+1型质数。

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