作业帮自△ABC内的任一点P,作三角形三条边的垂线,PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,若BD=BF,CD=CE,求证：AE=AF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/02 03:56:34
自△ABC内的任一点P,作三角形三条边的垂线,PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,若BD=BF,CD=CE,求证：AE=AF
自△ABC内的任一点P,作三角形三条边的垂线,PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,若BD=BF,CD=CE,求证：AE=AF
自△ABC内的任一点P,作三角形三条边的垂线,PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,若BD=BF,CD=CE,求证：AE=AF
连接BP,AP,CP,因为PF垂直于AB,PD垂直于BC且BF=BD,则三角形BPF等于三角形BPD所以PF等于PD,同理PE等于PD,所以PF等于PE,又因为PF垂直于AB,PE垂直于AC,所以三角形AFP等于三角形AEP,所以AE=AF.
连接DE,EF,FD,在△BDF中，
∵BD=DF,
∴∠BDF=∠BFD,
又PD⊥BC,PF⊥AB,
∴∠PDF=∠PFB=90°,
∴∠PDF=∠PFD,
∴PD=PF,
同理,在△CDE中,
∵∠CDE=∠CED,PD⊥BC,PE⊥AC,
∴∠PDE=∠PED,
∴PD=PE,又PD=PF
∴PE=PF...
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连接DE,EF,FD,在△BDF中，
∵BD=DF,
∴∠BDF=∠BFD,
又PD⊥BC,PF⊥AB,
∴∠PDF=∠PFB=90°,
∴∠PDF=∠PFD,
∴PD=PF,
同理,在△CDE中,
∵∠CDE=∠CED,PD⊥BC,PE⊥AC,
∴∠PDE=∠PED,
∴PD=PE,又PD=PF
∴PE=PF,在△PEF中,
∴∠PFE=∠PEF,又
∵PE⊥AC,PF⊥AB,
∴∠AFE=∠AEF,
∴AE=AF.
收起
根据已知条件不难证明⊿BPF≌⊿BPD，可以得出PF=PD,同理可以得出PE=PD
∴P点是⊿ABC的内心。以p点为圆心，以PD为半径做出其内切圆，D,E,F就是切点，∴根据切线定理得AE=AF