作业帮线性代数,特征值,这里第一步代入 |入E-A|我能看懂,可后面的(入-3)(入-2)(入-1)是怎么来的?另外,入1＝1时,把它代入|入E-A|,可怎么就得到了[1 1 1]T?代入λ=1到λE-A=2 -4 20 -2 23 -1 -2第一列第二
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/28 16:42:40
![线性代数,特征值,这里第一步代入 |入E-A|我能看懂,可后面的(入-3)(入-2)(入-1)是怎么来的?另外,入1＝1时,把它代入|入E-A|,可怎么就得到了[1 1 1]T?代入λ=1到λE-A=2 -4 20 -2 23 -1 -2第一列第二](/uploads/image/z/3614326-70-6.jpg?t=%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%2C%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%2C%E8%BF%99%E9%87%8C%E7%AC%AC%E4%B8%80%E6%AD%A5%E4%BB%A3%E5%85%A5+%7C%E5%85%A5E-A%7C%E6%88%91%E8%83%BD%E7%9C%8B%E6%87%82%2C%E5%8F%AF%E5%90%8E%E9%9D%A2%E7%9A%84%28%E5%85%A5-3%29%28%E5%85%A5-2%29%28%E5%85%A5-1%29%E6%98%AF%E6%80%8E%E4%B9%88%E6%9D%A5%E7%9A%84%3F%E5%8F%A6%E5%A4%96%2C%E5%85%A51%EF%BC%9D1%E6%97%B6%2C%E6%8A%8A%E5%AE%83%E4%BB%A3%E5%85%A5%7C%E5%85%A5E-A%7C%2C%E5%8F%AF%E6%80%8E%E4%B9%88%E5%B0%B1%E5%BE%97%E5%88%B0%E4%BA%86%5B1+1+1%5DT%3F%E4%BB%A3%E5%85%A5%CE%BB%3D1%E5%88%B0%CE%BBE-A%3D2++++-4++20++++-2++23++++-1++-2%E7%AC%AC%E4%B8%80%E5%88%97%E7%AC%AC%E4%BA%8C)
线性代数,特征值,这里第一步代入 |入E-A|我能看懂,可后面的(入-3)(入-2)(入-1)是怎么来的?另外,入1＝1时,把它代入|入E-A|,可怎么就得到了[1 1 1]T?代入λ=1到λE-A=2 -4 20 -2 23 -1 -2第一列第二
线性代数,特征值,
这里第一步代入 |入E-A|我能看懂,可后面的(入-3)(入-2)(入-1)是怎么来的?
另外,入1＝1时,把它代入|入E-A|,可怎么就得到了[1 1 1]T?
代入λ=1到
λE-A=
2 -4 2
0 -2 2
3 -1 -2
第一列第二个不是3么？怎么变成0了？
另外，如果按这个结果，最后一步是怎么看的？
就是最后化为只有1，-1和0后，是怎么得出1，1这个结果的？
比方说最后一步化成
1 1 0
0 0 1
0 0 0
是怎么化成X＝[1,-1,0]T的？
单纯看只能看出x1和x2相反，那我写成X=[-1,1,0]T不也一样吗？
线性代数,特征值,这里第一步代入 |入E-A|我能看懂,可后面的(入-3)(入-2)(入-1)是怎么来的?另外,入1＝1时,把它代入|入E-A|,可怎么就得到了[1 1 1]T?代入λ=1到λE-A=2 -4 20 -2 23 -1 -2第一列第二
1.求特征值代入后,
|λE-A|=0.|λE-A|=
λ+1 -4 2
3 λ-4 0
3 -1 λ-3
第三行乘以（-1）加到第二行得
λ+1 -4 2
0 λ-3 3-λ
3 -1 λ-3
第二列加到第三列得
λ+1 -4 -2
0 λ-3 0
3 -1 λ-4
行列式以第二行展开!
=（λ-3）[(λ+1)(λ-4)-3*(-2)]
=（λ-3）[(λ^2-3λ+2)]
=（λ-3）(λ-1)(λ-2)
由特征值与特征向量关系
AP=λP
则(λE-A)P=0
代入λ=1到
λE-A=
2 -4 2
0 -2 2
3 -1 -2
化简.第一行乘以1/2
1 -2 1
0 -2 2
3 -1 -2
第一行乘以(-3)加到第3行
1 -2 1
0 -2 2
0 5 -5
第2行乘以5/2加到第3行
1 -2 1
0 -2 2
0 0 0
第2行乘以-1加到第1行
1 0 -1
0 -2 2
0 0 0
第2行乘以-1/2
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
即(λE-A)P=0的系数矩阵为
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
所以,其解为（1,1,1）
这种问题建议你看课本，
了解下基本概念。
(入-3)(入-2)(入-1)是把行列式转化，然后展开得到。一般是转化成上三角式。或足够多的0.
至于入1＝1时，把它代入|入E-A|，得到了[1 1 1]T， 是解了一个普通的矩阵方程，建议你去复习下矩阵方程的解法。
[1 1 1]T，后面带T，表示是转置，也就是竖着排的[1 1 1 ]，是一个列矩阵。...
全部展开
这种问题建议你看课本，
了解下基本概念。
(入-3)(入-2)(入-1)是把行列式转化，然后展开得到。一般是转化成上三角式。或足够多的0.
至于入1＝1时，把它代入|入E-A|，得到了[1 1 1]T， 是解了一个普通的矩阵方程，建议你去复习下矩阵方程的解法。
[1 1 1]T，后面带T，表示是转置，也就是竖着排的[1 1 1 ]，是一个列矩阵。
收起
|入E-A| => (入-3)(入-2)(入-1)涉及到行列式的展开与化简知识。根据行列式的展开公式有：
|入E-A| = (入+1)(入-4)(入-3) + 3*(-1)*2 + 3*(-4)*0 - 2*(入-4)*3 - 0*(-1)*(入+1) - (入-3)*3*(-4)=0 => (入+1)(入-4)(入-3) - 6 - 6(入-4) + 12(入-3)=0 => (入+1)...
全部展开
|入E-A| => (入-3)(入-2)(入-1)涉及到行列式的展开与化简知识。根据行列式的展开公式有：
|入E-A| = (入+1)(入-4)(入-3) + 3*(-1)*2 + 3*(-4)*0 - 2*(入-4)*3 - 0*(-1)*(入+1) - (入-3)*3*(-4)=0 => (入+1)(入-4)(入-3) - 6 - 6(入-4) + 12(入-3)=0 => (入+1)(入-4)(入-3) + 6(入-3)=0 => (入-3)[(入+1)(入-4) +6] => (入-3)(入-2)(入-1)
（行列式的展开公式请参考相关书籍《大学数学基础教程（三）线性代数与空间解析几何》第三章第一节）
其实所谓的特征向量就是特征值"入"与对应矩阵A组成的新矩阵Ax=入x的解（注意每个特征值对应的特征向量不一定只是一个，一般情况下都是一组解）
（Ax=入x是定义，参见《大学数学基础教程（三）线性代数与空间解析几何》第六章第一节）
既然上式求出了入的三个解，也就是该矩阵对应的三个特征值，那么带入|入E-A|x=0（其实就是Ax=入x的另一个形式）求出x就OK了。
如入1=1，代入后利用矩阵初等行变换，可得出
|1 0 -1|
|0 1 -1|
|0 0 0|
即x1-x3=0,x2-x3=0 => x1=x2=x3,取x1=1,得x2=x3=1(取几都可以，取1只是我觉得1方便)，从而得到入1对应的一个特征向量X=(1,1,1)T（T代表转置）
所以特征值入1对应的全部特征向量为：
kX = (k,k,k)T，其中k为任意非零的数
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