若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 11:34:34
若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.
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若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.
若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.

若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.
在f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)中,令x=0,得
f(y/2)=f(0)+y(y+1)=y²+y+1
再令y/2=x,得
f(x)=4x²+2x+1
注：如果严格推敲,等式　f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)不可能对任意的x,y都成立.理由如下.
在式子中令,y=-4x,则　上式变为
f(-x)=f(x)-4x(-2x+1) (1)
即（1）式对所有的x∈R都成立
在（1）式中用-x替换x,得
f(x)=f(-x) +4x(2x+1) (2)
所以（2）式对所有的x∈R都成立
（1）+（2）得
f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)+16x² (3)
即（3）式也对任意的x∈R都成立,但这显然是不可能的,
因为（3）式就是16x²=0,它只有在x=0时才成立.

f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)
令y=-2x
f(0)=f(x)+(-2x)(2x-2x+1)
=f(x)+(-2x)(2x+(-2x)+1)
=f(x)-2x=1
故 f(x)=2x+1谢谢，你的答案与书上的答案完全一致，我是这样做的：在f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)中，令x=0，得 f(y/2)=f(0)+y(y+1)=...

全部展开

f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)
令y=-2x
f(0)=f(x)+(-2x)(2x-2x+1)
=f(x)+(-2x)(2x+(-2x)+1)
=f(x)-2x=1
故 f(x)=2x+1

收起

直接令x=0，代入f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1) 得到f(y/2)=1+y^2+y
在令y/2=t ，y=2t； 故，f（t）=4t^2+2t+1:再把t换成x就可以了
希望可以帮助你！

令x=-y/2.
得：f(0)=f(-y/2)+y=1
f(-y/2)=1-y=2(0.5--y/2)
所以f(x)=2(0.5--x)

设函数f(x)是定义在R上的增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x) (1) 求证：F(x)是R上的增函数； (2) 若F（x1）+f(x2)设函数f(x)是定义在R上的增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x)(1) 求证：F(x)是R上的增函数；(2) 若F（x1）+f(x2)>0, 函数周期性及其应用f(x)是定义在R上的函数,若f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x),(x∈R,b>a>0),求证f(x)是周期函数 设f(x)是定义在R上的增函数,试利用定义证明函数F(x)=f(x)-f(a-x)在R上是增函数 已知定义在r上的函数f(x)是奇函数,且f(x)=f(2-x),当0 若f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=f(-x)[x属于R】,证明f(x)是周期函数 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,证明f(2)+f(1)=0 一道抽象函数题f(x)是定义在R上的函数,已知f(f(x)-x2+x)=f（x）-x2+x,若f(x)-x=0有且只有一个零点,求f(x)? 若函数f(x)是定义在R上的偶函数在(负无穷,0】上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x) 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-无穷,0]上是减函数,且f(2)=0则使得f(x) 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数 f(x)=ex-ax 已知函数y=f(x)是定义在R上增函数,则f(x)=0的根 设函数fx是定义在r上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且当0 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+1)(2是底数).若f(m) f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立,当f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立,当x＞0时,f(x)＞1.1.证明f(x)在R上是增函数2.若f(4)=5,求f(2)的值3. 判断 若定义在R上的函数f(x)满足f(2)大于f(1),则函数f(x)是R上的单调增函数若定义在R上的函数f(x)满足f(2)大于f(1),则函数f(x)在R上不是单调减函数若定义在R上的函数f（x）在区间（负无穷大,0】 已知函数f(x)是定义在R 上的函数且满足f(x+3/2)则f(2011)已知函数f(x)是定义在R上的函数且满足f(x+(3/2))=-f(x),若x∈(0,3)时,f(x)=log2,(3x+1) ,则f(2011)=?因为f(x+3/2)=-f(x),所以f(x)=-f[x+(-3/2)],为什么可以这么 定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数,若f(1) 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上为减函数,且f(2)=0,则使得xf(x)