均值不等式习题 三个数,a

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 21:28:03
均值不等式习题 三个数,a
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均值不等式习题 三个数,a
均值不等式习题
三个数,a

均值不等式习题 三个数,a
令 x= -a ,y= -b ,z= -c ,则 x、y、z 均为正数,且 x+y+z=1 .
由柯西不等式,(1/x+1/y+1/z)(x+y+z)>=(1+1+1)^2=9 ,当 x=y=z=1/3 时取等号,
因此 1/x+1/y+1/z>=9 ,
所以,1/(-a)+1/(-b)+1/(-c)>=9 ,
则 1/a+1/b+1/c<= -9 ,即当 a=b=c= -1/3 时,所求最大值为 -9 .

1/a+1/b+1/c=-(1/a+1/b+1/c)*(a+b+c)
=-(1+1+1+b/a+a/b+c/a+a/c+c/b+b/c)
=-(3+b/a+a/b+c/a+a/c+c/b+b/c)
因为a小于0,b小于0,c小于0
所以b/a+a/b>=2, 当且仅当a=b时取等号
c/a+a/c>=2 当且仅当a=c时取等号
c/b...

全部展开

1/a+1/b+1/c=-(1/a+1/b+1/c)*(a+b+c)
=-(1+1+1+b/a+a/b+c/a+a/c+c/b+b/c)
=-(3+b/a+a/b+c/a+a/c+c/b+b/c)
因为a小于0,b小于0,c小于0
所以b/a+a/b>=2, 当且仅当a=b时取等号
c/a+a/c>=2 当且仅当a=c时取等号
c/b+b/c>=2 当且仅当b=c时取等号
所以b/a+a/b+c/a+a/c+c/b+b/c>=6 当且仅当a=b=c时取等号
所以-(3+b/a+a/b+c/a+a/c+c/b+b/c)<=-9
所以1/a+1/b+1/c的最大值是-9

收起

1/a+1/b+1/c
=-(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=-[3+a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b]
a/b+b/a>=2 a/c+c/a>=2 b/c+c/b>=2
a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b>=6
<=-9
最大值=-9

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