作业帮在三角形ABC中,AB=3,BC=√7,AC=2,若O为三角形ABC的重心,则向量AO*向量AC的值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 13:06:25
在三角形ABC中,AB=3,BC=√7,AC=2,若O为三角形ABC的重心,则向量AO*向量AC的值为?
在三角形ABC中,AB=3,BC=√7,AC=2,若O为三角形ABC的重心,则向量AO*向量AC的值为?
在三角形ABC中,AB=3,BC=√7,AC=2,若O为三角形ABC的重心,则向量AO*向量AC的值为?
提示：过C点作AB的垂线CD,D点是垂足.设AD=m,BD=n,有勾股定理有方程组
4-m²=7-n²
m+n=3
解这个方程得：n=2,m=1.
所以：由勾股定理求得CD=√3,且∠CAB=60°
过O作AB的垂线OF,延长CO交AB于E点.则：DE=1/2
OF=(1/3)CD=(√3)/3,EF=(1/3)DE=1/6
所以：AF=AE-EF=(3/2)-(1/6)=4/3
所以：AO=√{(4/3)²+[(√3)/3]²}=(√19)/3
∠OAB的度数可求
所以：∠CAO的度数可求,
所以：向量AO*向量AC可求.
三分之七！
点O是三角形ABC的重心 所以 AO=2/3AD 向量OA = 2/3向量DA = - 2/3向量AD = - 2/3×1/2（向量AB+向量AC） = - 1/3（向量AB+向量AC） 向量AO*向量AC= - 1/3 （向量AB*向量AC + 向量AC的平方） 然后算这个 向量AB*向量AC =|AB|*|AC|*cos<向量AB，向量AC > 算这个。。。 cos<向量AB，向量AC >=cos∠BAC= (AB^2 + AC^2 - BC^2)/(2*AB*AC)=1/2 所以 向量AB*向量AC =3×2×1/2=3 所以 向量AO*向量AC= - 1/3 （向量AB*向量AC + 向量AC的平方）= -1/3*(3 + 2^2)=-7/3 大概就是这样。。
收起