已知关于x的方程X^4+ax^3+bx^2+ax+1=0有实根（a,b为实数）,求a^2+b^2的最小值

已知关于x的方程X^4+ax^3+bx^2+ax+1=0有实根（a,b为实数）,求a^2+b^2的最小值
已知关于x的方程X^4+ax^3+bx^2+ax+1=0有实根（a,b为实数）,求a^2+b^2的最小值

已知关于x的方程X^4+ax^3+bx^2+ax+1=0有实根（a,b为实数）,求a^2+b^2的最小值
x^2+ax+b+ax^(-1)+x^(-2)=0
(x+1/x)^2-2+a(x+1/x)+b=0
令(x+1/x)＝y,则
y^2+ay+b-2=0
而x+1/x>2或=2或y2或y2=y2^2+4-9y2^2/(y2^2+1)
=y2^2+1+9/(y2^2+1)-6
由于y2^2+1>=5
所以原式>=5＋9/5-6=4/5

(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,
当x=-1时，x^4+4x^3+6x^2+4x+1=0，又X^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
x^4+4x^3+6x^2+4x+1=X^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
当x=-1时，(x+1)^4最小，这时，a=4,b=6
所以，a^2+b^2的最小值=52