已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2-x)=f(2+x),f(7-x))=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0试求方程f(x)=0在闭区间【-2011,2011】上的根的个数,并证明你的结论
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/21 11:45:09
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已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2-x)=f(2+x),f(7-x))=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0试求方程f(x)=0在闭区间【-2011,2011】上的根的个数,并证明你的结论
已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2-x)=f(2+x),f(7-x))=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0
试求方程f(x)=0在闭区间【-2011,2011】上的根的个数,并证明你的结论
已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2-x)=f(2+x),f(7-x))=f(7+x),且在闭区间【0,7】上,只有f(1)=f(3)=0试求方程f(x)=0在闭区间【-2011,2011】上的根的个数,并证明你的结论
(Ⅰ) 由于f(2-x)= f(2+x),f(7-x)= f(7+x)
可知f(x)的对称轴为x=2和x=7,即f(x)不是奇函数.
即f(x)是周期函数,其周期T=2(7-2)=10
联立f(2-x)= f(2+x)
f(7-x)= f(7+x)
推得f(4-x)= f(14-x)= f(x)
即f(x)=f(x+10),T=10
又 f(1)= f(3)=0 ,而f(7)≠0
故函数为非奇非偶函数.
(Ⅱ)f(x)=f(x+10),T=10
由f(4-x)= f(14-x)= f(x)
且闭区间[0,7]上只有f(1)= f(3)=0
得f(11)= f(13)=f(-7)= f(-9)= 0
即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解
而f(7-x)=f(7+x),函数f(x)在[4,7]上无根,∴函数f(x)在[7,10]上无根
∴f(x)=0在[0,10]上恰有两根为1和3,
由周期为10可知 f(x)=0的根为10n+1或10n+3的形式
所以 -2011≤10n+1≤2011 得-201.2≤n≤201,共403个
-2011≤10n+3≤2011 得-201.4≤n≤200.8,共402个
∴方程f(x)=0在在闭区间[-2011,2011]上的根的个数为805个