P是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是焦点,半短轴为b,且∠F1PF2=a.求证△PF1F2的面积为b²tgα/2

P是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是焦点,半短轴为b,且∠F1PF2=a.求证△PF1F2的面积为b²tgα/2
P是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是焦点,半短轴为b,且∠F1PF2=a.
求证△PF1F2的面积为b²tgα/2

P是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是焦点,半短轴为b,且∠F1PF2=a.求证△PF1F2的面积为b²tgα/2
设PF1=m,PF2=n,焦距＝c
m+n=2a（椭圆定义）
m²+n²-2mncosa=4c²（余弦定理）
1式平方减去2式得出mn=b²/（1-cosa）
△PF1F2的面积=mnsina/2
=b²sina/2（1-cosa）
=（2b²sina/2cosa/2）/（2cos²a/2）
=b²tgα/2