作业帮已知两个自然数b c ,质数a 且a^2＋b^2＝c^2 求证:a＜b ,c=b+1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 12:12:24
已知两个自然数b c ,质数a 且a^2＋b^2＝c^2 求证:a＜b ,c=b+1
已知两个自然数b c ,质数a 且a^2＋b^2＝c^2 求证:a＜b ,c=b+1
已知两个自然数b c ,质数a 且a^2＋b^2＝c^2 求证:a＜b ,c=b+1
因为a^2＋b^2＝c^2
所以不妨设a＝m^2－n^2 ,b＝2mn ,c＝m^2＋n^2
因为a为质数
所以m^2－n^2＝(m+n)(m-n)是质数
即m－n＝1 ,且m+n＝质数
所以m＝n+1
因为a＝m^2－n^2＝2n＋1 ,b＝2mn＝2n^2＋2n
所以b－a＝2n^2－1＞0 即a＜b
因为c＝m^2＋n^2＝2n^2＋2n＋1
所以c＝b＋1
这个题目压根就不对……如果a=c=2,b=0你看看是不是符合题设，不符合要证明的……声明，现在的0是自然数……
如果他们都是正整数，可以通过这个办法算一下……
a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
因为b,c都是正整数
所以c+b>c-b
所以他们都不会是a
所以只能c+b=a^2,c-b=1(题设说a是质数，意思是a至少是2，所以a^2>1...
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这个题目压根就不对……如果a=c=2,b=0你看看是不是符合题设，不符合要证明的……声明，现在的0是自然数……
如果他们都是正整数，可以通过这个办法算一下……
a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
因为b,c都是正整数
所以c+b>c-b
所以他们都不会是a
所以只能c+b=a^2,c-b=1(题设说a是质数，意思是a至少是2，所以a^2>1恒成立）
即c=b+1
下面证a
1.a=b，此时原式化为b^2+b^2=(b+1)^2
方程的解不是整数，舍去
2.a>b,因为c=b+1
所以a>=c
所以a^2>=c^2
将此不等式代入原方程
b^2=c^2-a^2<=0
所以b^2只能为0
b=0
与b是正整数矛盾
所以由1，2两步可证a>=b不成立
a
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