已知函数cos²x+asinx-a²+2a+5有最大值2 试求实数A的值 很着急我想知道这道题用画图的方法 怎么理解 帮我分析一下好么

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/17 11:13:14
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已知函数cos²x+asinx-a²+2a+5有最大值2 试求实数A的值 很着急
我想知道这道题用画图的方法 怎么理解 帮我分析一下好么

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f(x) = cos²x + Asinx - A² + 2A + 5
= 1 - sin²x + Asinx - A² + 2A + 5,化为完全平方形式
= - (sin²x - Asinx) - A² + 2A + 6
= - (sin²x - Asinx + (A/2)² - (A/2)²) - A² + 2A + 6
= - (sinx - A/2)² + A²/4 - A² + 2A + 6
= - (sinx - A/2)² - (3/4)A² + 2A + 6,是a(x + b)² + c当a < 0时的形式,抛物线开口向下有最大值c
当sinx = A/2时f(x)取得最大值2
- 1 ≤ sinx ≤ 1,- 1 ≤ A/2 ≤ 1,- 2 ≤ A ≤ 2
于是(- 3/4)A² + 2A + 6 = 2
(3/4)(A - 4/3)² = 16/3
(A - 4/3)² = 64/9
A = 8/3 + 4/3 或 A = - 8/3 + 4/3
A = - 4/3 或 A = 4,舍掉A = 4自从- 2 ≤ A ≤ 2
于是A = - 4/3


图像在这里：