作业帮慑a>0,0小于等于x小于等于2π,如果函数y=cosx^2-asinx+b的最大值是0,最小值是-4,求常数a、b
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 18:27:22
慑a>0,0小于等于x小于等于2π,如果函数y=cosx^2-asinx+b的最大值是0,最小值是-4,求常数a、b
慑a>0,0小于等于x小于等于2π,如果函数y=cosx^2-asinx+b的最大值是0,最小值是-4,求常数a、b
慑a>0,0小于等于x小于等于2π,如果函数y=cosx^2-asinx+b的最大值是0,最小值是-4,求常数a、b
设y=f(x)=cosx^2-asinx+b,则
f(x)=1-(sinx)^2-a*sinx+b
= - (sinx + a/2)^2 + (a^2)/4 +b+1
令u=sinx,则
f(u)= - (u + a/2)^2 + (a^2)/4 +b+1
根据抛物线的性质,可知
当u≤ -a/2时,f(u)单调递增； 当u＞ -a/2时,f(u)单调递减.
又∵ x ∈ [0,2π]
∴u=sinx ∈ [-1,1]
①若u=1＜ - a/2,即a＜- 2,f(u)单调递增.但这与已知条件a＞0矛盾,故舍去
②若u= - 1＞ - a/2,即a＞2,f(u)单调递减.而u∈ [-1,1]
则,max[f(u)] = f(-1) = a+b = 0
min[f(u)] = f(1) = - a+b = - 4
联立上述两式,解得a=2,b= - 2.但这与a＞2矛盾.故u= - 1＞ - a/2也不成立.
③若-1 ≤ - a/2 ≤ 1,即 - 2 ≤ a ≤ 2.而u∈ [-1,1]
则,max[f(u)] = f( - a/2) = (a^2)/4 +b+1 = 0……………………………………………………（*）
min[f(u)] = min[f(-1),f(1)] = min[a+b,- a+b] = - 4
令 (a+b)-(-a+b)=2a
∵a＞0,即a+b＞ - a+b,
∴min[a+b,- a+b] = -a+b = - 4
代入（*）式,解得 a= - 6,b= -10（舍去）,或a= 2,b= - 2
综上所述,a= 2,b= - 2