作业帮如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证：PD是⊙I的切线
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 05:47:26
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证：PD是⊙I的切线
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证：PD是⊙I的切线
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线与AB交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D,连结PD,求证：PD是⊙I的切线
设Z、N为△ABC的内切圆⊙I与AB、AC边的切点,连接MN、ZN、ID、DM、DN
因为AB=AC所以∠B=∠ACB, 因为⊙I是△ABC的内切圆所以∠NMC=∠MNC
MD//AC所以∠MNC=∠DMN,PC垂直于MN.又∠DMB=∠DNM=∠ACB所以∠DMN=∠MDN=
(180°-∠ACB）/2=90°-∠ACB/2,∠ZNM=180°-(180°-∠A）/2-(180°-∠ACB）/2=∠A/2+∠ACB/2
=90°-∠B/2所以∠DMN=∠ZNM所以弧DZ=弧ZM ,弧ZN=弧DM.又PC垂直平分于MN,所以PC垂直平分弧MDN ,PC垂直平分弧DZ,所以PD=PZ,△IDP≌△IZP所以∠PDI=∠PZI=90°,故PD是⊙I的切线.
（先假设一条切线,证明它和PD重合即可）
证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
根据题目，CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
加上CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
根据BN、QN均为⊙I的切线,所以NM＝QN，
根据题目BA＝AC...
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（先假设一条切线,证明它和PD重合即可）
证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
根据题目，CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
加上CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
根据BN、QN均为⊙I的切线,所以NM＝QN，
根据题目BA＝AC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.
又根据题目MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.
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