已知在△ABc,a²=b（b十c）,求证:A=2B

已知在△ABc,a²=b（b十c）,求证:A=2B
已知在△ABc,a²=b（b十c）,求证:A=2B

已知在△ABc,a²=b（b十c）,求证:A=2B
延长CA至D,使AD=AB=c
∵ a²=b（b十c）
且 ∠C=∠C
∴ △BCA∽△DCB
∴ ∠D=∠ABC
∵ AD=AB
∴ ∠D=∠ABD
∴ ∠A=∠D+∠ABD=2·∠D=2·∠ABC

用相似三角形来证明，确实算得上是“妙解”
但如果是高中生，最好还是用“余弦定理”。方法如下：
由余弦定理：
cosA=(b方+c方-a方）/2bc=(c方-bc)/2bc=(c-b)/2b
cosB=(a方+c方-b方）/2ac＝（bc+c方）/2ac=(b+c)/2a
cos2B＝2(cosB)方-1＝（b+c）方/2a方-1＝（b方+c方+2bc-2a方...

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用相似三角形来证明，确实算得上是“妙解”
但如果是高中生，最好还是用“余弦定理”。方法如下：
由余弦定理：
cosA=(b方+c方-a方）/2bc=(c方-bc)/2bc=(c-b)/2b
cosB=(a方+c方-b方）/2ac＝（bc+c方）/2ac=(b+c)/2a
cos2B＝2(cosB)方-1＝（b+c）方/2a方-1＝（b方+c方+2bc-2a方）/2a方
=(b方+c方+2bc-2b方-2bc）/（2b方+2bc）=(b+c)(c-b)/2b(b+c)=(c-b)/2a
所以：cosA=cos2B
又因为A和2B都在0到180度之间，所以，A＝2B

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