作业帮A是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合,试证明：偶数4k-2(k∈Z)不属于A
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 06:13:49
A是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合,试证明：偶数4k-2(k∈Z)不属于A
A是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合,试证明：偶数4k-2(k∈Z)不属于A
A是由一切能表示成两个整数的平方之差的全体整数组成的集合,试证明：偶数4k-2(k∈Z)不属于A
令两个整数的平方差
= A² - B²
= (A +B)*(A - B)
A + B、A - B的奇偶性相同（A - B,A - B + 2B.奇+偶2B=奇；偶+偶2B=偶）
则A + B、A - B要么同为奇数,要么同时含有因数2
则A² - B² 要么是奇数,要么含因数4
而4K-2既不是奇数,又不含因数4,得证.
2个整数为m，m+n，m，n同为整数
则A可以描述成(m+n)^2-m^2=2mn+n^2=n*(2m+n),
若n为奇数，则n+2m必为奇数
若n为偶数，则n+2m必为偶数
所以A中的数要么是奇数与奇数之积，要么是偶数与偶数之积
而待求证项中4k-2=2*(2k-1),却是一个奇数与偶数的乘积，所以不符合A中的特征...
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2个整数为m，m+n，m，n同为整数
则A可以描述成(m+n)^2-m^2=2mn+n^2=n*(2m+n),
若n为奇数，则n+2m必为奇数
若n为偶数，则n+2m必为偶数
所以A中的数要么是奇数与奇数之积，要么是偶数与偶数之积
而待求证项中4k-2=2*(2k-1),却是一个奇数与偶数的乘积，所以不符合A中的特征
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证明：
假设A={x︱x=Z12-Z22},则Z12-Z22=（Z1+ Z2）（Z1- Z2）：
若Z1是奇数，Z2是偶数，则（Z1+ Z2）、（Z1- Z2）同为奇数，Z12-Z22结果为奇数；
若Z1是奇数，Z2是奇数，则（Z1+ Z2）、（Z1- Z2）同为偶数，Z12-Z22结果为偶数，且是4的倍数；
若Z1是偶数，Z2是偶数，则（Z1+ Z2）、（...
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证明：
假设A={x︱x=Z12-Z22},则Z12-Z22=（Z1+ Z2）（Z1- Z2）：
若Z1是奇数，Z2是偶数，则（Z1+ Z2）、（Z1- Z2）同为奇数，Z12-Z22结果为奇数；
若Z1是奇数，Z2是奇数，则（Z1+ Z2）、（Z1- Z2）同为偶数，Z12-Z22结果为偶数，且是4的倍数；
若Z1是偶数，Z2是偶数，则（Z1+ Z2）、（Z1- Z2）同为偶数，Z12-Z22结果为偶数，且是4的倍数；
而4k-2=2(2k-1)，因为k∈Z，因此2k-1是奇数，4k-2则是2的倍数。
综合以上结论，证明：偶数4k-2(k∈Z)不属于A。
注：Z12-Z22，后面的2指的是平方。
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