已知x,y属于(0,2),且xy=1,求2/(2-x)+4/(4-y)的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 21:44:24
已知x,y属于(0,2),且xy=1,求2/(2-x)+4/(4-y)的最小值
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已知x,y属于(0,2),且xy=1,求2/(2-x)+4/(4-y)的最小值
已知x,y属于(0,2),且xy=1,求2/(2-x)+4/(4-y)的最小值

已知x,y属于(0,2),且xy=1,求2/(2-x)+4/(4-y)的最小值
2/(2-x)+4/(4-y)=1/(1-x/2)+1/(1-y/4)
因为公式:1/a+1/b≥4/(a+b)
故:
原式=2/(2-x)+4/(4-y)=1/(1-x/2)+1/(1-y/4)≥4/(2-x/2-y/4)
因为xy=1,所以(x/2)·(y/4)=1/8≤1/4*(x/2+y/4)^2
→x/2+y/4≥1/√2.
所以,有:
原式≥4/(2-x/2-y/4)≥4/(2-1/√2),这就是所求的最小值!
当x/2=y/4,xy=1,x,y属于(0,2),即x=1/√2,y=√2时取得!