已知函数f(x)=x平方+aln(x+1),若对于任意x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 19:44:34
已知函数f(x)=x平方+aln(x+1),若对于任意x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围?
已知函数f(x)=x平方+aln(x+1),若对于任意x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围?
已知函数f(x)=x平方+aln(x+1),若对于任意x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围?
答:
1<=x<=2,f(x)=x^2+aln(x+1)<=x恒成立
因为:2<=x+1<=3,ln(x+1)>0
所以:
a<=(x-x^2)/ln(x+1)
因为:在区间[1,2]上,x-x^2和1/ln(x+1)都是单调递减函数
所以:(x-x^2)/ln(x+1)在区间[1,2]上是单调递减函数
所以:x=2时,(x-x^2)/ln(x+1)>=(2-4)/ln(2+1)=-2/ln3
所以:a<=-2/ln3
答:
1<=x<=2,f(x)=x^2+aln(x+1)<=x恒成立
因为:2<=x+1<=3,ln(x+1)>0
所以:a<=(x-x^2)/ln(x+1)
因为:在区间[1,2]上,x-x^2和1/ln(x+1)都是单调递减函数
所以:(x-x^2)/ln(x+1)在区间[1,2]上是单调递减函数
所以:x=2时,(x-x^2)/ln(x+1)>...
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答:
1<=x<=2,f(x)=x^2+aln(x+1)<=x恒成立
因为:2<=x+1<=3,ln(x+1)>0
所以:a<=(x-x^2)/ln(x+1)
因为:在区间[1,2]上,x-x^2和1/ln(x+1)都是单调递减函数
所以:(x-x^2)/ln(x+1)在区间[1,2]上是单调递减函数
所以:x=2时,(x-x^2)/ln(x+1)>=(2-4)/ln(2+1)=-2/ln3
所以:a<=-2/ln3
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因为,不等式f(x)≤x恒成立
即,x^2+aln(x+1)<=x
所以,(x-1/2)^2-1/4+aln(x+1)<=0
当a=0时,1<=x<=2,则0=<(x-1/2)^2-1/4<=2,所以,a=0不符合。
当a>0时,1<=x<=2,则0
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因为,不等式f(x)≤x恒成立
即,x^2+aln(x+1)<=x
所以,(x-1/2)^2-1/4+aln(x+1)<=0
当a=0时,1<=x<=2,则0=<(x-1/2)^2-1/4<=2,所以,a=0不符合。
当a>0时,1<=x<=2,则0
当a<0时,,(x-1/2)^2-1/4<=-aln(x+1)
因为,-aln2=<-aln(x+1)<=-aln3,(1<=x<=2)
所以,-aln3>=2,即,a<=-2/ln3
实数a的取值范围(-oo,-2/ln3]
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