已知f（x）是定义在实数集R上的函数,满足f（x+2）=-f（x）,且x∈[0,2)时,f（x）=2x-x2,求当X属于【2,4】F(X)解析式.求F(0)+F(1)+F(2)+.F(2013)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/03 00:39:05
已知f（x）是定义在实数集R上的函数,满足f（x+2）=-f（x）,且x∈[0,2)时,f（x）=2x-x2,求当X属于【2,4】F(X)解析式.求F(0)+F(1)+F(2)+.F(2013)
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已知f（x）是定义在实数集R上的函数,满足f（x+2）=-f（x）,且x∈[0,2)时,f（x）=2x-x2,求当X属于【2,4】F(X)解析式.求F(0)+F(1)+F(2)+.F(2013)
已知f（x）是定义在实数集R上的函数,满足f（x+2）=-f（x）,且x∈[0,2)时,f（x）=2x-x2,
求当X属于【2,4】F(X)解析式.
求F(0)+F(1)+F(2)+.F(2013)

已知f（x）是定义在实数集R上的函数,满足f（x+2）=-f（x）,且x∈[0,2)时,f（x）=2x-x2,求当X属于【2,4】F(X)解析式.求F(0)+F(1)+F(2)+.F(2013)
1.f（x+2）=-f（x）,得 f(x)=-f(x-2),
当x∈[2,4)时,x-2∈[0,2)
且x∈[0,2)时,f（x）=2x-x^2,
所以f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-(x-2)^2]=x^2-6x+8
所以当x∈[2,4)时,f(x)=x^2-6x+8
又f（x+2）=-f（x）,得 f(x+4)=-f(x+2),
所以f(x+4)=f(x) 即f(x)是以4为周期的周期函数,而f(0)=0 所以f(4)=0 ,满足f(x)=x^2-6x+8
综上所述 当x∈[0,2)时,f（x）=2x-x^2,
当x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8
2.由第1问知f(x)是以4为周期的周期函数,而f(0)=0 ,f(1)=1 ,f(2)=0 ,f(3)=-1
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0 而0到2013共有2014个自然数,2014=505*4+2
所以f(0)+f(1)+f(2)+.+f(2013)=f(0)+f(1)=1

当x∈[-2,0]时，x+2∈[0,2]
f(x)=-f(x+2)=-[2(x+2)-(x+2)²]=-[2x+4-x²-4x-4]=x²+2x 当x∈[-2,0]
证明：
f(0)=0
在[-2,2]上
x>0,f(x)=2x-x²
-x<0
f(-x)=x²+2(-x)=-[2x-x&#...

全部展开

当x∈[-2,0]时，x+2∈[0,2]
f(x)=-f(x+2)=-[2(x+2)-(x+2)²]=-[2x+4-x²-4x-4]=x²+2x 当x∈[-2,0]
证明：
f(0)=0
在[-2,2]上
x>0,f(x)=2x-x²
-x<0
f(-x)=x²+2(-x)=-[2x-x²]=-f(x)
说明f(x)在[-2,2]上是奇函数
f(x+2)=-f(x)
令y=x+2
f(y)=-f(y-2)
再令x=y
f(x)=-f(x-2)=-f(x+2)
f(x+2)=f(x-2)
令y=x+2
f(y)=f(y-4)
再令x=y
f(x)=f(x-4)说明f（x）是以4为周期的
f(x)在[-2,2]上是奇函数
所以f(x)在R上是奇函数
设1≤x≤2，则-2≤-x≤-1，2≤-x+4≤3，
∵当2≤x≤3时，f(x)= -2(x-3)²+4，
∴f(-x+4)= -2(-x+1)²+4= -2(x-1)²+4，
∵f(x)=f(x+2)，
∴f(-x+4)=f(-x+2)=f(-x)，
又∵f(x)为R上的偶函数，
∴f(x)=f(-x)=f(-x+4)= -2(x-1)²+4，
故当x∈[1，2]时，f(x)= -2(x-1)²+4. f(x)=4x/(4x+2)
f(1/x)=(4/x)/(4/x+2)=4/(4+2x)=2/(x+2)
f(1/2013)+f(2/2013)+...+f(2010/2013)
=2(1/2015+2/2015+...+2010/2013)
=(2/2015)*(1+2+3+...+2010)
=(2/2015)*(1+2010)*2010/2
=2010*2011/2015

收起

f（x+2）=-f（x）得f(x)=-f(x-2) 则f(x+2)=f(x-2) 即f(x)=f(x+4) 周期为4
1、当X属于【2,4】则0<=x-2<=2
故f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-(x-2)^2] （自己化简即可）
2、根据周期求即可。
还是留给你自己做下比较好！

已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+无穷）上是单调增函数,若f(1) 已知定义在实数R集上的偶函数f(x)在区间[0,+无穷）上是单调递增函数,若f(1) 已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x) 已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x) 已知函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数,且对任意实数x都有f（x＋1）＝2f（x）＋1,则f（2012）的值是 已知函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且对任意实数x都有f(x+1)=2f(x)+1,则f(2012）的值是 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,﹢∞)上是单调递增函数.若f(x) 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数X都有Xf(X+1)=(1+X)f（X）则f（2.5）的值 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数X都有Xf(X+1)=(1+X)f（X）则f（2.5）的值 已知函数fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,对任意实数x有xf（x+1)=（1+x）f（x）,f（f(5/2))的值 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,正无穷)上是单调增函数则不等式f(1) 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,正无穷)上是单调增函数则不等式f(2) 已知定义在实数集R上的偶函数F(x)在区间（0,正无穷）上是单调增函数求证：函数F（X）在（负无穷,0】上是增函数 已知定义在实数集R上的函数f(x)是周期为4的奇函数,且f(1)=2006,那么f(3)=______ 已知定义在实数集R上的函数y=f(x)满足条件：对于任意的x.y∈R,f(x)-f(y)=f(x-y)(1):求证：f(x)是奇函数 （2）当x≥0时,f(x)＜0,试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明 周期：已知定义在R上的实数集上的函数f(x)始终满足已知定义在R上的实数集上的函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(X)判断y=f(X)是否是周期函数．若是,求出他的一个周期． 已知f(X)是定义在实数集R上的函数,且满足f(x+2)+f(x+2)f(x)+f(x)=1,f(1)=1/2,f(2)=1/4,则f(2014)=? 4.已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0,+∞）上是单调增函数,若f（1）＜f（lgx）,则x的取值范围是 .