作业帮高二有难度的不等式证明(提示用分析法)这是我的作业中一道思考题. 已知a>b>0 求证： (a-b)^2/8a
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/05 11:28:07
高二有难度的不等式证明(提示用分析法)这是我的作业中一道思考题. 已知a>b>0 求证： (a-b)^2/8a
高二有难度的不等式证明(提示用分析法)
这是我的作业中一道思考题.
已知a>b>0 求证：
(a-b)^2/8a
高二有难度的不等式证明(提示用分析法)这是我的作业中一道思考题. 已知a>b>0 求证： (a-b)^2/8a
有难度……
这道题的右面应该还有一组不等式
可以作为结论记住以后不一定会用到
原式可转为
（a-b)²/8a0,设y=√b,x=√a(x>y)
（y²-x²）/2x
用完全平方公式倒
一下就出来
证明:
要证明:
(a-b)的平方/8a<(a+b)/2-根号下ab
两边都乘2得a-b)的平方/4a<(a+b)-2*根号下ab
等价于（根号a-根号b）^2*（根号a+根号b）^2/4a<（根号a-根号b）^2
消去（根号a-根号b）^2且两边乘4a得
（根号a+根号b）^2<4a………………（**）
因为a>b>0
...
全部展开
证明:
要证明:
(a-b)的平方/8a<(a+b)/2-根号下ab
两边都乘2得a-b)的平方/4a<(a+b)-2*根号下ab
等价于（根号a-根号b）^2*（根号a+根号b）^2/4a<（根号a-根号b）^2
消去（根号a-根号b）^2且两边乘4a得
（根号a+根号b）^2<4a………………（**）
因为a>b>0
根号a+根号b<2*根号a,则（**）式显然成立
证毕
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直接设f(x)是关于b的函数关系式
设f(x)=(x+a)/2-√ax-(a-x)^2/8a
f'(x)=3/4-〔1/2√(a/x)+x/4a〕
=3/4-〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕
≤3/4-3*〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕^(1/3)
=0
当...
全部展开
直接设f(x)是关于b的函数关系式
设f(x)=(x+a)/2-√ax-(a-x)^2/8a
f'(x)=3/4-〔1/2√(a/x)+x/4a〕
=3/4-〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕
≤3/4-3*〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕^(1/3)
=0
当且仅当1/4√(a/x)=x/4a时取等号，此时x=a，此时f(x)=0
根据题干，当x=b＜a时，f'(x)＜0，此时f(x)＞0
故a＞b＞0时，(x+a)/2-√ax＞(a-x)^2/8a
得证
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