如图,正方形ABCD点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ吹⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=根号2Q为CD终点,则下列结论成立:1.∠PBC=∠PQD;2.BP=PQ;3.∠BPC=∠BQC;4.正方形ABCD的面积是16,请证明.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 12:49:58
![如图,正方形ABCD点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ吹⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=根号2Q为CD终点,则下列结论成立:1.∠PBC=∠PQD;2.BP=PQ;3.∠BPC=∠BQC;4.正方形ABCD的面积是16,请证明.](/uploads/image/z/3745670-14-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%82%B9P%E6%98%AF%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFAC%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5BP%2C%E8%BF%87P%E4%BD%9CPQ%E5%90%B9%E2%8A%A5BP%2CPQ%E4%BA%A4CD%E4%BA%8EQ%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5BQ%E4%BA%A4AC%E4%BA%8EG%2C%E8%8B%A5AP%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B72Q%E4%B8%BACD%E7%BB%88%E7%82%B9%2C%E5%88%99%E4%B8%8B%E5%88%97%E7%BB%93%E8%AE%BA%E6%88%90%E7%AB%8B%EF%BC%9A1.%E2%88%A0PBC%3D%E2%88%A0PQD%EF%BC%9B2.BP%3DPQ%EF%BC%9B3.%E2%88%A0BPC%3D%E2%88%A0BQC%EF%BC%9B4.%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E6%98%AF16%2C%E8%AF%B7%E8%AF%81%E6%98%8E.)
如图,正方形ABCD点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ吹⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=根号2Q为CD终点,则下列结论成立:1.∠PBC=∠PQD;2.BP=PQ;3.∠BPC=∠BQC;4.正方形ABCD的面积是16,请证明.
如图,正方形ABCD点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ吹⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=根号2
Q为CD终点,则下列结论成立:
1.∠PBC=∠PQD;2.BP=PQ;3.∠BPC=∠BQC;4.正方形ABCD的面积是16,请证明.
如图,正方形ABCD点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ吹⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=根号2Q为CD终点,则下列结论成立:1.∠PBC=∠PQD;2.BP=PQ;3.∠BPC=∠BQC;4.正方形ABCD的面积是16,请证明.
分析:根据对角互补的四边形,则四边形共圆,根据圆周角定理得出∠BPC=∠BQC,根据∠PBC=∠PQD,过P作PM⊥AD于M,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,则E、P、F三点共线,推出正方形AEPM,根据勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1,证△BEP≌△PFQ,推出PE=FQ=1,BP=PQ,求出DQ、DC,即可.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCQ=90°,
∵PQ⊥PB,
∴∠BPQ=90°,
∴∠BPQ+∠BCQ=180°,
∴B、C、Q、P四点共圆,
∴∠PBC=∠PQD,∠BPC=∠BQC,
∴①正确;③正确;
过P作PM⊥AD于M,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,则E、P、F三点共线,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=DC=BC,∠DAC=∠BAC,∠DAB=90°,
∴∠MAE=∠PEA=∠PMA=90°,PM=PE,
∴四边形AMPE是正方形,
∴AM=PM=PE=AE,
∵AP=√2,
∴在Rt△AEP中,由勾股定理得:AE²+PE²=(√2)²,
解得:AE=AM=PE=PM=1,
∴DF=1,
设AB=BC=CD=AD=a,
则BE=PF=a-1,
∵∠BEP=∠PFQ=∠BPQ=90°,
∴∠BPE+∠EBP=90°,∠EPB+∠FPQ=90°,
∴∠EBP=∠FPQ,
在△BEP和△PFQ中
∠EBP=∠FPQ,
BE=PF,
∠BEP=∠PFQ,
∴△BEP≌△PFQ(ASA),
∴PE=FQ=1,BP=PQ,
∴②正确;
∴DQ=1+1=2,
∵Q为CD中点,
∴DC=2DQ=4,
∴正方形ABCD的面积是4×4=16,
∴④正确;
点评:本题考查了正方形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理,三角形的内角和定理等知识点,主要考查学生的推理能力,题目综合性比较强,有一定的难度.