不等式的基本性质

不等式的基本性质
不等式的基本性质

不等式的基本性质
1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)
若,则a>b;(真)
若a>b且abb;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.
练习:
1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)
2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)
3.判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)
(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)
若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).

1.不等式的基本性质: 性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性). 性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性). 性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d. 性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且. 判断下列命题的真假,并说明理由. ...

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1.不等式的基本性质: 性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性). 性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性). 性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d. 性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且. 判断下列命题的真假,并说明理由. 若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假) 若,则a>b;(真) 若a>b且ab<0,则;(假) 若a若,则a>b;(真) 若|a|b2;(充要条件) 本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性. a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥) 强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备. :设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想. 1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>) 2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>) 3.判断下列命题的真假,并说明理由. (1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真) (3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真) 若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).

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【教学目标】

　　1．知识与技能：使学生了解不等式的性质，能根据不等式的性质将简单的一元一次不等式转化为“”或“”的形式；

　　2．过程与方法：通过等式的性质类比不等式的性质，使学生经历探索不等式性质的过程，初步体会不完全归纳法是探索数学规律的一种方法，体会类比的思想方法，体会数形结合思想和转化思想；感受分类讨论的思想方法．

　　3．情感...

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【教学目标】

　　1．知识与技能：使学生了解不等式的性质，能根据不等式的性质将简单的一元一次不等式转化为“”或“”的形式；

　　2．过程与方法：通过等式的性质类比不等式的性质，使学生经历探索不等式性质的过程，初步体会不完全归纳法是探索数学规律的一种方法，体会类比的思想方法，体会数形结合思想和转化思想；感受分类讨论的思想方法．

　　3．情感态度与价值观：使学生在操作、交流的数学活动中，感受数学学习的乐趣，增强学好数学的自信心．

　　【教学重点】探索不等式的性质，理解不等式的性质．

　　【教学难点】初步理解不等式性质3；不等式性质的符号表示．

　　【教学方式】启发式、探究式

　　【教学手段】多媒体

　　【教学过程】

教学环节
教学内容
设计意图

问题情境
师：叶落知秋，意思是看见树叶飘落，就知道秋天来了．告诉我们可以从已知的事物通过合理的推断，来认识新事物．
师：任意两个有理数存在大小关系，两个表示数的式子也有相等或不等关系．我们这节课来探索不等式的性质．
（引出课题：8．2．2.不等式的性质）

一、回顾 等式的性质（学生口述，教师板书．并注意符号语言）
在等式两端加（减）同一个数或式，结果仍是等式．
若则（若则）
在等式两端同乘以一个数或式（除以一个不为零的数或式），结果仍是等式．
若则（若则）
二、了解新事物
（一）、观察思考
表示80与60的大小
甲乙两人体重分别为80㎏和60㎏，两人体重的大小关系为
①若两人通过减肥，体重都减少了5㎏两人体重的大小关系为
②若两人不注意健康的饮食，体重都增加了2㎏两人体重的大小关系为

教师归纳：上述关系可记为：




让学生了解本节课要研究的对象及其意义，为类比等式的性质探索不等式的性质作准备．





探索不等式的性质











让学生类比等式的性质1归纳不等式的性质1：
（师订正板书：）
不等式的性质1：在不等式两端加（减）同一个数或式，不等号方向不变．

试着用符号语言描述你得到的结论．
能否用数轴理解不等式性质1

试着用符号语言描述你得到的结论．
教师板书：
性质1．如果，那么．
（二）、探索发现
填写下列表格你发现了什么？
不等式
两边同乘以（除以）一个数
比较大小

同乘以2


同除以3


同乘以


同乘以0



学生讨论、总结、表述．
（师订正板书：）
性质2．在不等式的两端同乘以一个正数，不等号方向不变．
如果，那么．
性质3．在不等式的两端同乘以一个负数，不等号方向改变．
如果，那么．
比较：不等式3个性质的异同
不等式性质与等式性质的异同
强调：等号不具有方向，不等号有方向！
（三）、巧记口诀
加减都用性质1，不等号方向不改变；
乘除正数性质2，不等号方向还不变；
乘除负数性质3，不等号方向必改变．





类比等式的性质，探索不等式的性质．让学生初步体会不完全归纳法是探索数学规律的一种方法，体会数形结合思想和转化思想；培养学生发现数学规律的能力．















知识巩固












阅读活动

阅读教材第124页“不等式的性质”

三、小试牛刀
例1．设，用“>”或“<”填空：

（1）；（2） ；

（3）；（4）．

例2将不等式化成或的形式，并在数轴上表示解．
在原不等式两端同减得，
两边同除以2得

与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成“”或“”的形式．

练习：利用不等式的性质解下列不等式，并说出利用不等式的哪条性质？

（1）；（2）；
（3）；（4）．

四、勇攀高峰（升华）
（一）判断正误
1、2、
3、
4、
5、
6、
概念辨析、字母的身份辨析，分类讨论．

让学生感受数学中文字语言表述的准确性及符号语言的简洁性、概括性．

利用自己探究的知识，解决存在疑惑的问题，体会成功．

通过例题引导学生再次体会：解不等式就是利用不等式的性质，将不等式进行变形，逐步转化成“”或“”的形式．并进一步巩固、检验学生对不等式性质的理解．









关注学生的易错点：方向、符号．

课堂小结
教师引导学生作课堂小结（总结知识上、思想方法上以及自己在探究性质的过程中的一些思考或值得借鉴、关注的地方）
1、不等式3个性质
2、类比思想
3、数形结合思想
4、分类讨论的思想方法．


反思、回顾学习过程，利于学生养成经常反思、总结的良好的学习品质．

布置作业


一．习题8.2
1．解不等式：
（1）x－5<0 （2）3x≥2x－6
（3）2x<－3 （4）－2x>
2．写出下图所表示的不等式的解集







3．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）3x≥－3； （2）－3x＋3<0
（3）2x＋2≤3x＋3 （4）5x－1>8x＋3
4．取什么值时，代数式的值：
（1）大于1？ （2）等于1？ （3）小于1？
二．个性作业
1、你能比较和的大小吗？和谁大呢？
2、已知∣5x-3∣＝3－5x，求x的取值范围．
3、判断下列不等式的变形是否正确：

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1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b，那么b这才是...

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1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b，那么b这才是不等式的六个性质

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1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么a...

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1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)
若,则a>b;(真)
若a>b且ab<0,则;(假)
若a若,则a>b;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.
练习:
1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)
2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)
3.判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)
(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)
若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).

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不等式性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
如果a＞b,那么a+m＞b+m；
如果a＜b,那么a+m＜b+m。
不等式性质2
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
如果a＞b,且m＞0,那么am＞bm；
如果a＜b,且m＞0,那么am＜...

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不等式性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
如果a＞b,那么a+m＞b+m；
如果a＜b,那么a+m＜b+m。
不等式性质2
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
如果a＞b,且m＞0,那么am＞bm；
如果a＜b,且m＞0,那么am＜bm。
不等式性质3
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
如果a＞b,且m＜0,那么am＜bm；
如果a＜b,且m＜0,那么am＞bm。

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不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式。例如2x+2y≥2xy，sinx≤1，ex>0 ，2x<3，5x≠5等 。 不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式...

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不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式。例如2x+2y≥2xy，sinx≤1，ex>0 ，2x<3，5x≠5等 。 不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

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1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么a...

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1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)
若,则a>b;(真)
若a>b且ab<0,则;(假)
若a若,则a>b;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.
练习:
1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)
2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)
3.判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)
(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)
若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).

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不等式的基本性质：
1)a>b←→b2)a>b,b>c→a>c
3)a>b→a+c>b+c
4)a>b,c>d→ac>bd
5)a>b,c>0→ac>bc
6)a>b,c<0→ac7)a>b>0,c>d>0→ac>bd
8)a>b>0→a的n次方>b的n次方 (n∈N+且n>1)
9)a>b>0→√a>√b ...

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不等式的基本性质：
1)a>b←→b2)a>b,b>c→a>c
3)a>b→a+c>b+c
4)a>b,c>d→ac>bd
5)a>b,c>0→ac>bc
6)a>b,c<0→ac7)a>b>0,c>d>0→ac>bd
8)a>b>0→a的n次方>b的n次方 (n∈N+且n>1)
9)a>b>0→√a>√b (n∈N+且n>1)
10)|a+b|≤|a|+|b| (a,b∈R,且当a,b同号时取等号)

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和方程的差不了多少...
就是同时乘或除一个负数要变号

1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b，那么b这才是...

全部展开

1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b，那么b这才是不等式的六个性质

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