1、 设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A=90o.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 03:36:54
1、 设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A=90o.
xT]oP+$&fB4$ӟJ\X'2l* D&{N-) /v#yɗ J5tz2փW惇ю? z3;HDRhoȠqY'#2 Ϊݩ7nj3|IV˅7*̮1P5(?`*QD#",DFTSV* &mt؋Q;"f"Ic2ad@cC|tOnM[@--^ع?ӲO0:3<ʹx>o5{:' x;rFщl,[T1sQ ce9\@rh

1、 设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A=90o.
1、 设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A=90o.

1、 设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A=90o.
方程x2+2ax+b2=0的两根分别为x1 、x2
方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x2 、x3
x1+x2=-2a
x2+x3=-2c
x1.x2=b^2
x2.x3=-b^2 可以推出x3=-x1
a^2=（x1+x2)^2/4
b^2=x1.x2
c^2=(x2+x3)^2/4=(x2-x1)^2/4
计算得出a^2=b^2+c^2
所以角A=90o

证明：充分性：当A=90°时，a2=b2+c2.
于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2-c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
该方程有两根x1=-（a+c），x2=-（a-c）．
同样，x2+2cx-b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
该方程亦有两根x3=-（c+a），x4=-（c-a）...

全部展开

证明：充分性：当A=90°时，a2=b2+c2.
于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2-c2=0⇔[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
该方程有两根x1=-（a+c），x2=-（a-c）．
同样，x2+2cx-b2=0⇔[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
该方程亦有两根x3=-（c+a），x4=-（c-a）．
显然x1=x3，两方程有公共根．
必要性：设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为m，
则 m2+2am+b2=0 (1) m2+2cm-b2=0 (2)
（1）+（2）得m=-（a+c）．（m=0舍去）．
将m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]2+2a•[-（a+c）]+b2=0，
整理得a2=b2+c2．
所以A=90°．
故结论成立．

收起

设a.b.c为三角形ABC的三边,求证：(a+b+c)的平方 设abc为三角形的三边,m>0,求证a/(a+m)+b/(b+m)>c/(c+m) 如图,设三角形ABC的三边分别为abc,试证明a小于二分之一(a+b+c) 半径为1的圆内接三角形面积为1/4,设三角形的三边分别为a,b,c,则abc= 设a,b,c是三角形ABC的三边,求证:(a+b+c)^2 设三角形ABC的三边分别为a,b,c成等差数列,则角B的取值范围? 设a,b,c为三角形ABC的三边边长,试化简a-b-c的绝对值+b-c-a的绝对值+c-a-b的绝对值 设a,b,c是三角形ABC的三边,试证明：a^2+b^2=c^2是三角形ABC为直角三角形的充要条件 设abc为三角形的三边,求证：a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)>=3 设a,b,c,为三角形的三边,求证：a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2+4abc>a3+b3+c3 设a,b,c,为三角形的三边,求证：a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2+4abc>a3+b3+c3 设a,b,c为三角形ABC三边之长化简√(a-b-c)²=|a+b-c| 设三角形ABC的三边a,b,c成等差数列,角B的范围是 设abc为三角形ABC的三边,且满足（1）a>b>c(2)2b=a+c(3)a方+b方+c方=84 求整数b的值? 设a,b,c是三角形ABC的三边,试证明：a2+b2=c2是三角形ABC为直角三角形的充要条件 设三角形的三个内角为ABC,三边为abc,若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB,角C多少度? 已知三角形ABC的三边分别为a,b,c且（a-c):(a+b):(c-b)=-2:7:1,试判断三角形ABC的形状 一道数学题,三角形ABC三边边长为a,b,c,满足1/a-1/b+1/c=1/(a+b+C),试判断三角形ABC的形状