关于勾股定理的难题已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证:(1)c+h>a+b.(2)以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/21 14:33:26
![关于勾股定理的难题已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证:(1)c+h>a+b.(2)以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形.](/uploads/image/z/3795902-62-2.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9A%BE%E9%A2%98%E5%B7%B2%E7%9F%A5CD%E4%B8%BARt%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E9%AB%98%2CAC%2CBC%2CAB%E7%9A%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFb%2Ca%2Cc.CD%E4%B8%BAh.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%EF%BC%881%EF%BC%89c%2Bh%EF%BC%9Ea%2Bb.%EF%BC%882%EF%BC%89%E4%BB%A5a%2Bb%2Cc%2Bh%2Ch%E4%B8%BA%E4%B8%89%E8%BE%B9%E5%8F%AF%E6%9E%84%E6%88%90%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2.)
关于勾股定理的难题已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证:(1)c+h>a+b.(2)以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形.
关于勾股定理的难题
已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证:(1)c+h>a+b.(2)以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形.
关于勾股定理的难题已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证:(1)c+h>a+b.(2)以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形.
(1)设直角三角形的面积为S,则
S
=1/2*ab (两直角边乘积)
=1/2*ch (底边乘以高)
于是 ab=ch.
要证 c+h>a+b,只需证 (c+h)^2>(a+b)^2.
注意到
(c+h)^2
=c^2+2hc+h^2 (利用c是斜边,c^2=a^2+b^2)
=a^2+b^2+2ab+h^2
=(a+b)^2+h^2 (***)
即(c+h)^2=(a+b)^2+h^2,从而 (c+h)^2>(a+b)^2,c+h>a+b.
(2)由(1)知c+h>a+b,又因为c+h>h,所以如果以a+b,c+h,h三边可以构成直角三角形,一定有c+h是斜边,因此只要验证 (c+h)^2=(a+b)^2+h^2.这在上面已经验证(见***式).于是a+b,c+h,h可构成直角三角形,且c+h是斜边.
证明:
(1)
∵(a+b)²=a²+2ab+c²,
∵a²+b²=c²,2ab=2ch(由面积可得)
∴(c+h)²>(a+b)²
∴c+h>a+b
(2)
∵(a+b)²=a²+2ab+c²,(c+h)²=c²...
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证明:
(1)
∵(a+b)²=a²+2ab+c²,
∵a²+b²=c²,2ab=2ch(由面积可得)
∴(c+h)²>(a+b)²
∴c+h>a+b
(2)
∵(a+b)²=a²+2ab+c²,(c+h)²=c²+2ch+h²
∴(c+h)²=(a+b)²+h²
∴以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形
收起
(1) ∵(a+b)²=a²+2ab+c²,
∵a²+b²=c²,2ab=2ch
∴(c+h)²>(a+b)²
∴c+h>a+b
(2)因为 直角三角形 所以 c^2=a^2+b^2, c*h=a*b
(a+b)^2=c^2+2ch
所以 (a+b)^2+h^2=(c+h)^2
所以 可以构成直角三角形