作业帮一道高二不等式证明,难a,b∈（0,1） 求证 a/(1-a^2)+b/(1-b^2)≥（a+b)/(1-ab)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 22:48:20
一道高二不等式证明,难a,b∈（0,1） 求证 a/(1-a^2)+b/(1-b^2)≥（a+b)/(1-ab)
一道高二不等式证明,难
a,b∈（0,1） 求证 a/(1-a^2)+b/(1-b^2)≥（a+b)/(1-ab)
一道高二不等式证明,难a,b∈（0,1） 求证 a/(1-a^2)+b/(1-b^2)≥（a+b)/(1-ab)
左=（A+B）（1-AB）/(1-a^2)(1-b^2)
把不等式左边通分得
(1-ab)(a+b)/(1-a^2)(1-b^2)>=(a+b)(1-ab)
即(1-a^2)(1-b^2)<=1
由于a,b∈(0,1)，所以最后一个不等式成立。
证明：设a=tanα，b=tanβ
a/(1-a^2)=tanα/（1-tanα^2)=sinαcosα/(cosα^2-sinα^2)
=1/2sin(2α）/cos(2α）=1/2tan（2α）
同理b/(1-b^2)≥1/2tan（2β）
(a+b)/(1-ab)=tan(α+β）
1/2tan（2...
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证明：设a=tanα，b=tanβ
a/(1-a^2)=tanα/（1-tanα^2)=sinαcosα/(cosα^2-sinα^2)
=1/2sin(2α）/cos(2α）=1/2tan（2α）
同理b/(1-b^2)≥1/2tan（2β）
(a+b)/(1-ab)=tan(α+β）
1/2tan（2α）+1/2tan（2β）=1/2（sin(2α）/cos(2α）+sin(2β）/cos(2β））
=1/2*（sin(2α）cos(2β）+sin（2β）cos（2α））/(cos(2α）*cos(2β））
=1/2sin(2α+2β）/(cos(2α）*cos(2β））
=sin(α+β）*cos(α+β）/(cos(2α）*cos(2β））-------（1）
又cos(2α）*cos(2β）=1/2(cos(2α-2β)+cos(2α+2β)）
cos(2α-2β)<=1
=>1/2(cos(2α-2β)+cos(2α+2β)）>=1/2(1+cos(2α+2β)）=（cos(α+β））^2
将上式代入（1）便可得结论
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将不等式两边相减，经通分化简后为：a/(1-a²)+b/(1-b²)-（a+b)/(1-ab)=（a+b）(a-b)²/[(1-a²)(1-b²)(1-ab)].
已知a,b∈（0，1），故（a+b）(a-b)²/[(1-a²)(1-b²)(1-ab)]≥0，
则a/(1-a²)+b/(1-b...
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将不等式两边相减，经通分化简后为：a/(1-a²)+b/(1-b²)-（a+b)/(1-ab)=（a+b）(a-b)²/[(1-a²)(1-b²)(1-ab)].
已知a,b∈（0，1），故（a+b）(a-b)²/[(1-a²)(1-b²)(1-ab)]≥0，
则a/(1-a²)+b/(1-b²)-（a+b)/(1-ab)≥0，
从而证得：a/(1-a²)+b/(1-b²)≥（a+b)/(1-ab).
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