作业帮急：已知函数f(x)=e^ax(a/x+a+1),其中a≥-1.(1)a=1,求曲线y=f(x)在点（1,f(1))处的切线方程（2）求f(x)的单调区间
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 19:39:11
急：已知函数f(x)=e^ax(a/x+a+1),其中a≥-1.(1)a=1,求曲线y=f(x)在点（1,f(1))处的切线方程（2）求f(x)的单调区间
急：已知函数f(x)=e^ax(a/x+a+1),其中a≥-1.(1)a=1,求曲线y=f(x)在点（1,f(1))处的切线方程
（2）求f(x)的单调区间
急：已知函数f(x)=e^ax(a/x+a+1),其中a≥-1.(1)a=1,求曲线y=f(x)在点（1,f(1))处的切线方程（2）求f(x)的单调区间
1）解析：∵a=1,∴y=f(x)=e^x(1/x+2)
在点x=1处,f(1)=3e
y'=e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)
切线方程的斜率k=3e-e=2e
∴切线方程：y-3e=2e(x-1)==>y=2ex+e
2)解析：∵函数f(x)=e^(ax)(a/x+a+1),其中a≥-1,其定义域为x≠0
令f'(x)=ae^(ax)(a/x+a+1)-ae^(ax)/x^2= ae^(ax)(a/x+a+1-1/x^2)=0
(a+1)x^2+ax-1=0
解得x1=-1,x2=1/(a+1)
当x0；函数f(x)单调增
-1
1）当a=1时，得y=f(x)=e^x(1/x+2),在点x=1处，f(1)=3e，此时，y'=e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)
即切线方程的斜率k=3e-e=2e
从而切线方程：y=2ex+b过点（1,3e）,得到：y=2ex+e
2)求单调区间，则函数的导函数为：y'=e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)
1.当y'>0时，得f(x)为增...
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1）当a=1时，得y=f(x)=e^x(1/x+2),在点x=1处，f(1)=3e，此时，y'=e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)
即切线方程的斜率k=3e-e=2e
从而切线方程：y=2ex+b过点（1,3e）,得到：y=2ex+e
2)求单调区间，则函数的导函数为：y'=e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)
1.当y'>0时，得f(x)为增函数，解e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)>0,
得e^x(1/x^2)(2x^2+x-1)>0,即2x^2+x-1>0,
得（2x-1）(x+1)>0
x>1/2或x<-1,为函数的增区间。
2.当y'<0时，得f(x)为增函数，解e^x(1/x+2)-e^x(1/x^2)<0,
得e^x(1/x^2)(2x^2+x-1)<0,即2x^2+x-1<0,
得（2x-1）(x+1)<0
-1
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