已知a4+b4+c4+d4=4abcd,以a、b、c、d为边长的四边形是菱形吗?a4以及后面的3个4都是4次方

已知a4+b4+c4+d4=4abcd,以a、b、c、d为边长的四边形是菱形吗?a4以及后面的3个4都是4次方
已知a4+b4+c4+d4=4abcd,以a、b、c、d为边长的四边形是菱形吗?
a4以及后面的3个4都是4次方

已知a4+b4+c4+d4=4abcd,以a、b、c、d为边长的四边形是菱形吗?a4以及后面的3个4都是4次方
a4+b4+c4+d4=4abcd
a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=4abcd-2a2b2-2c2d2
(a2-b2)2+(c2-d2)2=-2(ab-cd)2
(a2-b2)2+2(ab-cd)2+(c2-d2)2=0
(a2-b2)2>=0,2(ab-cd)2>=0,(c2-d2)2>=0
所以,
a2=b2,ab=cd,c2=d2
a=b,ab=cd,c=d
a=b=c=d.
以a、b、c、d为边长的四边形是菱形

a^4+b^4>=2(ab)^2
c^4+d^4>=2(cd)^2
2(ab)^2+2(cd)^2>=4abcd
所以当且仅当a=b=c=d，等式成立
所以为菱形