直线l:y=kx+1与双曲线C:3x^2-y^2=1相交于不同的A,B两点.(1)k=2时,求AB的长度;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点?

直线l:y=kx+1与双曲线C:3x^2-y^2=1相交于不同的A,B两点.(1)k=2时,求AB的长度;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点?
直线l:y=kx+1与双曲线C:3x^2-y^2=1相交于不同的A,B两点.(1)k=2时,求AB的长度;
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点?

直线l:y=kx+1与双曲线C:3x^2-y^2=1相交于不同的A,B两点.(1)k=2时,求AB的长度;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点?
(1)k=2,则y=kx+1=2x+1,直线l：y=2x+1与双曲线C：3x^2-y^2=1相交于不同的两点A、B,故设A(x1,2x1 +1)、B(x2,2x2 +1).
将y=2x+1代入3x^2-y^2=1得：x^2+4x+2=0,由此得x1+x2=-4,(x1)(x2)=2,于是
|AB|=根号{(x2-x1)^2+[(2x2 +1)-(2x1 +1)]^2}=根号[5*(x2-x1)^2]
=根号{5*[(x2+x1)^2-4(x1)(x2)]}=2倍根号10；
(2)由（1）得A(x1,kx1 +1)、B(x2,kx2 +1)
将y=kx+1代入3x^2-y^2=1得：(3-k^2)x^2-2kx-2=0,由此得
x1+x2=(2k)/(3-k^2),(x1)(x2)=2/(k^2-3),判别式=(-2k)^2+8(3-k^2)=24-k^2>0,于是
|AB|=根号{(x2-x1)^2+[(kx2 +1)-(kx1 +1)]^2}=根号[(1+k^2)*(x2-x1)^2]
=根号{(1+k^2)*[(x2+x1)^2-4(x1)(x2)]}=2倍根号{[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]}；
因此以AB为直径的圆的半径为根号{[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]},圆心为(k/(3-k^2),3/(3-k^2)),故该圆的方程为：[x-k/(3-k^2)]^2+[y-3/(3-k^2)]^2=[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]
如果坐标原点在此圆上,则[k/(3-k^2)]^2+[3/(3-k^2)]^2=[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]
即k^2=3或k^2=1
综上,存在存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点.

1、当k=2时有：y=2x+1, 3x^2-y^2=1，联立解得：
A、B两点的坐标分别为：(-2+√6，-3+2√6)，(-2-√6，-3-2√6)
AB的长度=√[(-2+√6+2+√6)^2+(-3+2√6+3+2√6)^2]=2√30
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点,也就是A、B两点关于原点对称则：
x1+x2=0,y1+y2=...

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1、当k=2时有：y=2x+1, 3x^2-y^2=1，联立解得：
A、B两点的坐标分别为：(-2+√6，-3+2√6)，(-2-√6，-3-2√6)
AB的长度=√[(-2+√6+2+√6)^2+(-3+2√6+3+2√6)^2]=2√30
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点,也就是A、B两点关于原点对称则：
x1+x2=0,y1+y2=0
将y=kx+1代入曲线方程得：
(k-3)x^2-2kx-2=0 应有x1+x2=0即：2k/(k-3)=0 得到k=0
当k=0时，y=1，不符合y1+y2=0
综上所述，不存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点,

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1，将直线方程和曲线方程联立求解即可得到一个关于X的一元二次方程，再根据韦达定理（根与系数的关系）将y=kx+1代入C的方程得（3-k^)x^-2kx-2=0(k不等于3）所以X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；所以AB^=(1+k^)*[(X1+X2)^-4X1X2;将X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；代入AB的弦长中即可求出AB了，结果为2...

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1，将直线方程和曲线方程联立求解即可得到一个关于X的一元二次方程，再根据韦达定理（根与系数的关系）将y=kx+1代入C的方程得（3-k^)x^-2kx-2=0(k不等于3）所以X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；所以AB^=(1+k^)*[(X1+X2)^-4X1X2;将X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；代入AB的弦长中即可求出AB了，结果为2*根号[(1+k^)(6-k^)]/(3-k^)(方括号中的为根号下的项)
2.以线段AB为直径的圆经过坐标原点,则，AO和BO垂直，所以斜率之积为-1.即Y1Y2=-X1X2.（*）将Y1=kX1+1,Y2=kX2+1代入（*）式即可得到（k^+1)X1X2+k(X1+X2)+1=0（Ⅳ)再将X1+X2=2k/(3-k^);X1*X2=2/(k^-3）；代入（Ⅳ)即可得到k^=1,所以k=+ -1,所以存在k满足条件

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