△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE⊥AC交CA的延长线于E,求证;DE=AE+BC

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/29 01:18:57
△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE⊥AC交CA的延长线于E,求证;DE=AE+BC
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△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE⊥AC交CA的延长线于E,求证;DE=AE+BC
△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE⊥AC交CA的延长线于E,求证;DE=AE+BC

△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE⊥AC交CA的延长线于E,求证;DE=AE+BC
证明:
过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F
所以∠CFD=Rt∠=90度
因为DE⊥AC交CA的延长线于E
所以∠E=Rt∠=90度
因为∠C=90度
所以∠C=∠E=∠F=Rt∠=90度
所以四边形ABCD是矩形
所以DF=CE
因为BC=AC
所以∠CBA=∠CAB=45度
因为BD=AD
所以∠DBA=∠DAB
所以180度-∠CBA-∠ABD=180度-∠CAB-∠BAD
即∠FBD=∠DAE
因为∠F=∠E
所以三角形FBD全等三角形ADE
所以FD=DE
所以DE=CE
因为CE=CA+AE
又因为AC=BC
所以CE=AE+BC
所以DE=AE+BC

连结CD,∵AC=BC,DA=DB,
∴点C、点D都在线段AB的垂直平分线上,
∴CD垂直平分AB,
∴∠ACD=45°,
又∵DE⊥AC,
∴∠CDE=45°,
∴DE=CE=AC+AE=AE+BC
就这样哦....西西