已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE且∠BAD=∠EAC,BE与CD交于点P 当∠BAD=90°时,若∠BAC=45°,∠BAP=30°,BD=2,求CD的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/06 06:49:59
已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE且∠BAD=∠EAC,BE与CD交于点P 当∠BAD=90°时,若∠BAC=45°,∠BAP=30°,BD=2,求CD的长.
已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE且∠BAD=∠EAC,BE与CD交于点P
当∠BAD=90°时,若∠BAC=45°,∠BAP=30°,BD=2,求CD的长.
已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE且∠BAD=∠EAC,BE与CD交于点P 当∠BAD=90°时,若∠BAC=45°,∠BAP=30°,BD=2,求CD的长.
解:∵∠DAB=∠CAE=90°;∠BAC=45°.
∴∠DAC=∠BAE=135°;又DA=BA,AC=AE.
∴⊿DAC≌⊿BAE(SAS),得:BE=DC;∠ADC=∠ABE.
把AB与PD的交点记为点O,∠AOD=∠POB,由三角形内角和为180度可知:∠OPB=∠OAD=90度.
BE=DC,则点A到BE和DC的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)
∴∠APO=∠APE=45°.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
∵∠APE=∠BAP+∠ABP,即45°=30°+∠ABP.
∴∠ADC=∠ABP=15°.
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=135°;∠DAE=360°-∠DAC-∠CAE=135°.
∴∠DAC=∠DAE;又AD=AD,AC=AE.则⊿DAC≌⊿DAE(SAS),CD=ED;∠ADE=∠ADC=15°.
故∠BDE=∠BDA+∠ADE=(45+15)=60°;
同理可证:⊿DAE≌⊿BAE(SAS),DE=BE.
∴⊿BDE为等边三角形,得:ED=BD=2,所以CD=DE=2.(等量代换)