作业帮直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A1C1与l的距离{求图
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 06:52:13
直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A1C1与l的距离{求图
直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A1C1与l的距离{求图
直三棱柱ABC—A1B1C1中AA1=1.AB=4B.C=3,∠ABC=90°设平面A1BC1与平面ABC的交线为l则A1C1与l的距离{求图
过B作MN∥AC,再过A作AE⊥MN交MN于E、过C作CF⊥MN交MN于F,连结A1E、C1F.
∵∠ABC＝90°, ∴由勾股定理,有：AC＝√（AB^2＋BC^2）＝√（16＋9）＝5.
∵EF∥AC、AE⊥EF、CF⊥EF, ∴ACFE是矩形,
∴EF＝AC＝5、AE＝CF、∠AEB＝∠CFB＝90°.
∴由勾股定理,有：√（AB^2－AE^2）＝BE、√（BC^2－CF^2）＝BF,
∴√（AB^2－AE^2）＋√（BC^2－CF^2）＝BE＋BF＝EF＝5,
∴√（16－AE^2）＝5－√（9－CE^2）＝5－√（9－AE^2）,
两边平方,得：16－AE^2＝25－10√（9－AE^2）＋9－AE^2,
∴10√（9－AE^2）＝25＋9－16＝18, ∴5√（9－AE^2）＝9,
两边再平方,得：25（9－AE^2）＝81, ∴25AE^2＝25×9－81＝9×（25－9）＝9×16,
∴AE^2＝9×16/25＝144/25.
∵ABC－A1B1C1是直棱柱, ∴AA1⊥平面ABC, 而B是矩形ACFE中EF上的一点,
∴AA1⊥平面ACFE, ∴AE是A1E在平面ACFE上的射影, 又EF⊥AE,
∴由三垂线定理,有：A1E⊥EF.
∵ABC－A1B1C1是直棱柱, ∴A1C1∥AC, 又EF∥AC, ∴A1C1∥EF.
由A1E⊥EF、A1C1∥EF,得：A1E为A1C1与EF间的距离.
∵A1C1∥EF, ∴A1、C1、F、E共面, 而B是FE上的点, ∴A1、C1、F、B、E共面.
∵ACFE是矩形, ∴A、C、F、E共面, 而B是EF上的点, ∴A、C、F、B、E共面.
∴EF是平面A1BC1与平面ABC的交线. ∴A1E是A1C1与 l 的距离.
∵AA1⊥平面ACFE, ∴AA1⊥AE,
∴A1E＝√（AA1^2＋AE^2）＝√（1＋144/25）＝√（169/25）＝13/5.
即A1C1与 l 的距离为13/5.