已知函数f(x)＝sin x＋cos x,f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f^2(x)的值域．

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 07:57:59
已知函数f(x)＝sin x＋cos x,f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f^2(x)的值域．
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已知函数f(x)＝sin x＋cos x,f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f^2(x)的值域．
已知函数f(x)＝sin x＋cos x,f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f^2(x)的值域．

已知函数f(x)＝sin x＋cos x,f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f^2(x)的值域．

⑴f'(x)=cosx-sinx
=√2cos(x+π/4)
最小正周期T=2π/1=2π；
⑵f(x)=sinx+cosx
=√2sin(x+π/4)
∴F(x)=f(x)·f'(x)+f²(x)
=2sin(x+π/4)cos(x+π/4)+2sin²(x+π/4)
=sin(2x+π/2)+1-2sin²(x+π/4)-1
=cos2x+cos(2x+π/2)-1
=cos2x-sin2x-1
=√2cos(2x+π/4)-1
∴当cos(2x+π/4)=-1时,F(x)有最小值为-√2-1,
当cos(2x+π/4)=1时,F(x)有最大值为√2-1,
∴F(x)值域为[-√2-1,√2-1].
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(1)
∵ f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
f′(x)=cosx-sinx=√2cos(x+π/4)
∴ 两函数最小正周期均为2π
(2)
∵ F(x)=f(x)f′(x)+f²(x)
=(cosx-sinx)(sinx+cosx)+(sinx+cosx)²
...

全部展开

(1)
∵ f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
f′(x)=cosx-sinx=√2cos(x+π/4)
∴ 两函数最小正周期均为2π
(2)
∵ F(x)=f(x)f′(x)+f²(x)
=(cosx-sinx)(sinx+cosx)+(sinx+cosx)²
=(cos²x-sin²x)+(sin²x+cos²x+2sinxcosx)
=sin2x+cos2x+1
=√2sin(2x+π/4)+1
当x∈[0，π/2]时
2x+π/4∈[π/4，5π/4]
∴函数F(x)=f(x)f′(x)+f²(x)的值域为[0，√2+1]

收起

D[Cos[x] + Sin[x], x] =Cos[x] - Sin[x]

蓝色 f(x),红色f'(x)

最小正周期 2PI

F(x)＝f(x)f′(x)＋f^2(x)

最大值的数值解在2.4左右，没算出解析解

已知函数f（x）＝m?n,其中m＝（sinωx＋cosωx,√3cosωx）,n＝（cosωx－shi已知函数f（x）＝m×n，其中m＝（sinωx＋cosωx，√3cosωx），n＝（cosωx－shiωx，2shiωx）其中ω＞0，若函数f（x）的周期是π。 已知函数f(x)＝sin x＋cos x,f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f^2(x)的值域． 已知函数f（x ）=sin ^2x +2√3sin x cos x +3cos^x 、求函数f （x ）的单调增区间 已知,函数f(x)＝2sinx(sin x＋cos x) 求,〔1〕f(x)的最小正周期,和最大值 已知函数f（x）＝2sin（x－π/6)cosx＋2cos^2x 求f(x)的单调增区间 已知函数f(x)＝2√3sin(x+π/4)cos(x+π/4)-sin(2x+π).求f(x)的最小正周期 函数f(x)=sin(x)+cos(x)-sin(x)*cos(x)的值域是什么 已知f（cos x）＝cos 3x 求f（sin x）的值 已知函数f(x)＝2sin(x/4)cos(x/4)－(2√3)×sin^2(x/4)＋√3.⑴已知函数f(x)＝2sin(x/4)cos(x/4)－(2√3)×sin^2(x/4)＋√3.⑴求函数f(x)的最小正周期及最值⑵令g(x)＝f(x＋派/3）,判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0 已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(o 已知函数f(x)=根号3sin(2x+fai)-cos(2x+fai)(0 已知函数f(x)=cos^2(x-π/6)-sin^2x化简 已知函数f(x)=sin²(π/4+x)+cos²x+1/2求最值 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函数,且θ 已知函数f(x)=sin(2x+α)+根号3cos(2x+α)(0 已知函数f(x) =√3cos(2x-y)-sin(2x-y) (0 已知函数f(x)=cos(x-3/ 兀)-sin(2/兀-x).(1)求函数f(x)的最小值.