作业帮F(X)=（根号下x+1）-alnx (a是实数）1.求f(x)的单调区间2.证明lnx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 05:03:37
F(X)=（根号下x+1）-alnx (a是实数）1.求f(x)的单调区间2.证明lnx
F(X)=（根号下x+1）-alnx (a是实数）1.求f(x)的单调区间2.证明lnx
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（一）f(x)=√(x+1)-a㏑x.(x＞0).求导得，f′(x)=1/[2√(x+1)]-(a/x)=[x-2a√(x+1)]/[2x√(x+1)](通分加减)=[(x+1)-2a√(x+1)+a²-(a²+1)]/[2x√(x+1)]={[√(x+1)-a]²-[√(a²+1)]²}/[2x√(x+1)](凑形分解)={[√(x+1)+√(a...
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（一）f(x)=√(x+1)-a㏑x.(x＞0).求导得，f′(x)=1/[2√(x+1)]-(a/x)=[x-2a√(x+1)]/[2x√(x+1)](通分加减)=[(x+1)-2a√(x+1)+a²-(a²+1)]/[2x√(x+1)]={[√(x+1)-a]²-[√(a²+1)]²}/[2x√(x+1)](凑形分解)={[√(x+1)+√(a²+1)-a][√(x+1)-(a+√(a²+1))]}/[2x√(x+1)].即f′(x)={[√(x+1)+√(a²+1)-a][√(x+1)-(a+√(a²+1))]}/[2x√(x+1)].由x>0,及√(a²+1)-a＞0可知，√(x+1)+√(a²+1)-a＞0,2x√(x+1)＞0.故导数f′(x)与√(x+1)-[a+√(a²+1)]同号。故f′(x)>0.<===>√(x+1)-[a+√(a²+1)]>0.<===>√(x+1)＞a+√(a²+1)＞0.<===>x＞2a[a+√(a²+1)].(等价递推)即f′(x)＞0,<===>x＞2a[a+√(a²+1)],(x＞0).可设m=2a[a+√(a²+1)].易知，a+√(a²+1)＞0.故(1)当a≤0时，m≤0.此时，在(0,+∞)上，f(x)递增。（2）当a＞0时，在(0,m)上，f(x)递减，在(m,+∞)上，f(x)递增。（二）证明：易知，x＞0.可设函数g(x)=√(x+1)-㏑x.求导得g′(x)={[√(x+1)-1+√2)][√(x+1)-(1+√2)]}/[2x√(x+1)].故g′(x)与√（x+1)-(1+√2)同号。显然，0＜x＜2+√2时，g′(x)<0,x＞2+√2时，g′(x)>0.故g(x)min=g(2+√2)=√(3+√2)-㏑(2+√2).又√(3+√2)≈2.1010029.㏑(2+√2)≈1.22794.故g(x)min>0.即当x>0时，g(x)≥g(x)min＞0.===>√(x+1)-㏑x＞0.===>㏑x＜√(x+1).
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