设A和B是非零矩阵,满足AB=0,则B的行向量线性相关.这个怎么证明?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 22:07:15
![设A和B是非零矩阵,满足AB=0,则B的行向量线性相关.这个怎么证明?](/uploads/image/z/3891427-43-7.jpg?t=%E8%AE%BEA%E5%92%8CB%E6%98%AF%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E7%9F%A9%E9%98%B5%2C%E6%BB%A1%E8%B6%B3AB%3D0%2C%E5%88%99B%E7%9A%84%E8%A1%8C%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%9B%B8%E5%85%B3.%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%80%8E%E4%B9%88%E8%AF%81%E6%98%8E%3F)
设A和B是非零矩阵,满足AB=0,则B的行向量线性相关.这个怎么证明?
设A和B是非零矩阵,满足AB=0,则B的行向量线性相关.这个怎么证明?
设A和B是非零矩阵,满足AB=0,则B的行向量线性相关.这个怎么证明?
记A的列矩阵是A1,.An ; B的行矩阵是B1,.Bn.
由于AB=0
所以(A1,...An)B=0
因为B是非0矩阵,所以矩阵B至少有一列的元素不全为零,所以(A1,...An)乘以这一列=0
所以A的列向量线性相关.
同理A为非0矩阵,所以矩阵A至少有一行的元素不全为零,所以A的这一行乘以B的行矩阵=0
所以B的行向量线性相关
用线性映射的语言来说,设A和B分别是域K上的 m by n 和 n by l 矩阵,那么他们对应的线性映射是
B A
K^l -----> K^n ------> K^m
AB 是零矩阵意味着 B的像含在A的核中 , 考虑这两个子空间的维数就有
dim(im B ) = rank (B) 小于等于 dim(A) = n- ran...
全部展开
用线性映射的语言来说,设A和B分别是域K上的 m by n 和 n by l 矩阵,那么他们对应的线性映射是
B A
K^l -----> K^n ------> K^m
AB 是零矩阵意味着 B的像含在A的核中 , 考虑这两个子空间的维数就有
dim(im B ) = rank (B) 小于等于 dim(A) = n- rank(A)
最后一个等号使用了维数的公式.
A非零意味着 rank(A)大于等于1,所以
rank(B) 小于 n
所以 B的n个行向量线性相关.
收起