A ,B 都是实正定矩阵 证明AB也是正定矩阵

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 16:54:17
A ,B 都是实正定矩阵 证明AB也是正定矩阵
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A ,B 都是实正定矩阵 证明AB也是正定矩阵
A ,B 都是实正定矩阵 证明AB也是正定矩阵

A ,B 都是实正定矩阵 证明AB也是正定矩阵
先证AB为对称矩阵.这题应该缺少A,B可交换这一条件,否则AB为对称矩阵这一条件也无法满足.
再证AB的特征值全为正.
因为A,B为正定矩阵,所以对于矩阵A,B可以找到共同的正交矩阵T,使得
T'AT=diag(a_1,a_2,...,a_n)
T'BT=diag(b_1,b_2,...,b_n)
其中a_i,b_i为A,B各自的特征值.
于是T'ATT'BT=T'(AB)T=diag(a_1b_1,...,a_nb_n),即AB的所有特征值均为正.

图呢

因为AB是实正定矩阵，所以AB也是正定矩阵

必要性： A,B,AB都是正定矩阵, 那么(根据定义)A,B,AB一定是 实对称矩阵, 所以有 AB=(AB)'=B'A'=BA 因而A与B是可交换的;充分性： A,B正定，那么(根据定义)A和B是对称矩阵， A'=A,B'=B 因为AB=BA，那么(AB)'=B'A'=BA=AB，这就说明AB 也是对称矩阵。 由于A与B正定，所以存在可逆矩阵P和Q满足 A=P'P，B=Q'Q 所以QAB(Q^(...

全部展开

必要性： A,B,AB都是正定矩阵, 那么(根据定义)A,B,AB一定是 实对称矩阵, 所以有 AB=(AB)'=B'A'=BA 因而A与B是可交换的;充分性： A,B正定，那么(根据定义)A和B是对称矩阵， A'=A,B'=B 因为AB=BA，那么(AB)'=B'A'=BA=AB，这就说明AB 也是对称矩阵。 由于A与B正定，所以存在可逆矩阵P和Q满足 A=P'P，B=Q'Q 所以QAB(Q^(-1))=Q(P'P)(Q'Q)(Q^(-1))=QP'PQ'=(PQ')'PQ 这说明对称矩阵AB相似于正定矩阵(PQ')'PQ 所以AB也是正定矩阵

收起

A ,B 都是实正定矩阵 证明AB也是正定矩阵 设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵. 几个证明题 关于正定矩阵的若A使正定矩阵,证明A*也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵.证明A+B也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵,证明AB正定的充要条件是AB=BA设A可逆,证明ATA正定 若A,B都是正定矩阵,怎么证明A+B也是正定矩阵 设A,B都是正定矩阵.证明:A+B也是正定矩阵. 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵 已知A与B都是正定矩阵,则A与B的点乘也是正定矩阵,怎么证明? 已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵. 大学线性代数:已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵. 证明 如果A,B是正定矩阵,那么A+B也是正定矩阵. 线性代数证明题,若A,B均为正定矩阵,则A+B也是正定矩阵 设实矩阵A是正定矩阵,证明：对于任意正整数 Ak也是正定矩阵 设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A) A,B是正定矩阵 AB=BA 证明AB也为正定矩阵 A,B都是n阶半正定矩阵,证明：AB的特征值都≥0 线代 正定矩阵问题我以前看到一个正定矩阵的性质：若A,B为n阶正定矩阵,则A+B也是正定矩阵,但AB,BA不一定是正定矩阵.现在做到一道题：A,B都是n阶正定矩阵,证：AB的特征值全大于零.这不与那 若A与B是合同矩阵,请问能否证明如A是正定矩阵,B也是正定矩阵 n阶矩阵a是正定阵,证明a*也是 正定阵,使用正惯性指数证明.