作业帮已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是定义在R上的偶函数,且当x属于【1,2】时,该函数的值域为【-2,1】求f(X)的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 15:22:16
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是定义在R上的偶函数,且当x属于【1,2】时,该函数的值域为【-2,1】求f(X)的解析式
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是定义在R上的偶函数,且当x属于【1,2】时,该函数的值域为【-2,1】
求f(X)的解析式
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是定义在R上的偶函数,且当x属于【1,2】时,该函数的值域为【-2,1】求f(X)的解析式
偶函数 有 a=c=0
f(x)=bxx+d x=0时区最小或者最大值
f(1)=b+d=-2 或1
f(2)=4b+d=1或-2
b=1或-1,d=-3或者
∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），即-ax3+bx2-cx+d=ax3+bx2+cx+d
∴ax3+cx=0恒成立，
故f（x）=bx2+d．（4分）
当b=0时，由函数f（x）的值域不是常数知不合题意；（5分）
当b＞0，x∈[1，2]时f（x）单调递增，又f（x）值域为[-2，1]，
所以
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∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），即-ax3+bx2-cx+d=ax3+bx2+cx+d
∴ax3+cx=0恒成立，
故f（x）=bx2+d．（4分）
当b=0时，由函数f（x）的值域不是常数知不合题意；（5分）
当b＞0，x∈[1，2]时f（x）单调递增，又f（x）值域为[-2，1]，
所以
f(1)=-2f(2)=1
⇒
b+d=-24b+d=1
⇒
b=1d=-3
．（9分）当b＜0，同理可得
f(1)=1f(2)=-2
⇒
b+d=14b+d=-2
⇒
b=-1d=2
，（12分）
所以f（x）=x2-3或f（x）=-x2+2．（13分）
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