作业帮怎么证明矩阵谱范数满足||A||_2=max{|y'Ax|,||x||_2=1,||y||_2=1},
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 01:49:10
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怎么证明矩阵谱范数满足||A||_2=max{|y'Ax|,||x||_2=1,||y||_2=1},
怎么证明矩阵谱范数满足||A||_2=max{|y'Ax|,||x||_2=1,||y||_2=1},
怎么证明矩阵谱范数满足||A||_2=max{|y'Ax|,||x||_2=1,||y||_2=1},
这题的证明关键是利用矩阵2范数和最大奇异值之间的关系.
1.首先证明对于任意的x和y,必存在某个酉矩阵Q满足,y = Q * x.
证明：将x和y分别扩充到Cn上的两组酉基X = [x,x2,...,xn]和Y = [y,y2,...,yn],那么X和Y必然等价,即存在酉矩阵Q满足Y = Q * X,取第一列可得y = Q * x.
2.再证：||P * A * Q||2 = ||A||2,其中P和Q都是Cn上的酉阵.这其实是矩阵2范数的一个常用性质.
证明：||A||2 = sqrt(max(eig(A' * A))) = sqrt(max(eig(A' * P' * P * A))) = ||P * A||2
||A||2 = sqrt(max(eig(A * A'))) = sqrt(max(eig(A * Q * Q' * A'))) = ||A * Q||2
=> ||A||2 = ||P * A||2 = ||A * Q||2 = ||P * A * Q||2
3.由1知,对于任意的单位2范数向量y和x,存在酉阵Q满足：Q' * Q = I,y = Q * x,而max|y'Ax| = max|x' * Q' * A * x| = ||Q' * A||2,由2知||Q' * A||2 = ||A||2,证毕!
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