设A是n阶实矩阵,i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根.设A是n阶实矩阵，i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根。

设A是n阶实矩阵,i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根.设A是n阶实矩阵，i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根。
设A是n阶实矩阵,i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根.
设A是n阶实矩阵，i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根。

设A是n阶实矩阵,i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根.设A是n阶实矩阵，i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根。
充分性:
由特征多项式为|λE-A|,-i不是根即有|-iE-A| ≠ 0,从而|A+iE| ≠ 0,即有A+iE可逆.
必要性:
A+iE可逆故|A+iE| ≠ 0,从而|-iE-A| ≠ 0,即-i不是特征多项式|λE-A|的根.
而|λE-A|是实系数多项式,因此虚根成对.可知i也不是特征根,否则-i也为特征根,矛盾.
因此±i都不是A的特征根.