作业帮f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f’(0)=2,求f(x)和f’(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 22:59:38
f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f’(0)=2,求f(x)和f’(x)
f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f’(0)=2,求f(x)和f’(x)
f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f’(0)=2,求f(x)和f’(x)
由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),得该函数类型为
f(x)=b*a∧x(指数型函数）
f(x)'=b(a∧x)㏑a
所以f'(0)=blna=2
所以a=e∧n,b=2/n所以f(x)=(2/n)e∧(nx)（n!=0)
f'(x)=2e∧x(题目应该还缺条件给你加个条件：f(1）=2e,则f(x)=2e∧x)
f(x)=e^(2x)
f'(x)=2e^(2x)答案猜下就差不多出来了，要过程可以看看田增伦的函数方程一书，有解释谢了，不过我要采纳下面那个了- -有趣，如果函数小于零，如何取对数？明显大于0你取x1=x2可得f(x)>=0而且f(0)可以求出来等于1你必须把这句写在前面，证明大于零后，才能取对数...
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f(x)=e^(2x)
f'(x)=2e^(2x)
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两边取对数
lnf(x1+x2)=lnf(x1)+lnf(x2)
令g(x)=lnf(x)
则g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)
由柯西定理知g(x)=[g(1)]^x
故lnf(x)=xlnf(1)
设f(1)=a
则f(x)=a^x
又f'(x)=a^xlna f'(0)=2
即lna=2 a=e^2
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两边取对数
lnf(x1+x2)=lnf(x1)+lnf(x2)
令g(x)=lnf(x)
则g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)
由柯西定理知g(x)=[g(1)]^x
故lnf(x)=xlnf(1)
设f(1)=a
则f(x)=a^x
又f'(x)=a^xlna f'(0)=2
即lna=2 a=e^2
故f(x)=e^(2x)
f'(x)=2e^(2x)
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令x1=x2=0,则f(0)=f(0)^2,得f(0)=0或1;
若f(0)=0,则对任意x，f(x)恒等于0，而f'(0)=2,所以f(0)=1;
[f(x+△x)-f(x)]/△x=[f(x)f(△x)-f(x)]/△x， 两边取极限△x->0，
左边=f'(x)，右边=f(x)[f(△x)-1]/△x ****；
△x->0，[f(△x)-1]/△x=，[f...
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令x1=x2=0,则f(0)=f(0)^2,得f(0)=0或1;
若f(0)=0,则对任意x，f(x)恒等于0，而f'(0)=2,所以f(0)=1;
[f(x+△x)-f(x)]/△x=[f(x)f(△x)-f(x)]/△x， 两边取极限△x->0，
左边=f'(x)，右边=f(x)[f(△x)-1]/△x ****；
△x->0，[f(△x)-1]/△x=，[f(△x)-f(0)]/△x=f'(0)=2，
由***式得 f'(x)=2f(x)，f(0)=1;
解微分方程得f(x)=e^(2x);
f'(x)=2e^(2x)
另外，上边取对数的解答，致命错误为没证明f(x)>0；证明即可。柯西定理用的有错吧。略改后就得到中学解法。
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f'(x)=[f(x+△x)-f(x)]/△x=f(x)(△x-1)/△x=f(x)
我只能到这里了。