作业帮x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 06:12:39
x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy证明
x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy证明
x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy证明
x^2+y^2+z^2-yz-xz-xy
=1/2(2x^2+2y^2+2z^2-2yz-2xz-2xy)
=1/2[(x-y)^2+(y-z)^1+(x-z)^2] >=0
即x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy
2(x^2+y^2+z^2)=(x^2+y^2)+(x^2+z^2)+(y^2+z^2)≥2xy+2xz+2yz
所以x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy ，当且仅当x=y=z取等号
同时*2 移过来2x^2 +2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz》=0 (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>=0 证明好了！
x^2+y^2>=2xy
y^2+z^2>=2yz
x^2+z^2>=2xz
2(x^2+y^2+z^2)>=2(2xy*2yz+2xz)
因为2(x^2+y^2+z^2)-2(yz+xz+xy)
=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≥0
所以2(x^2+y^2+z^2)≥2(yz+xz+xy)
即x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy
x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy
证明：
(x-y)^2>=0
x^2+y^2>=2xy
同理，y^2+z^2>=2yz x^2+z^2>=2xz
相加得
2x^2+2y^2+2z^2>=2yz+2xz+2xy
即 x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy
证明：左右同时乘以2
2X^2+2y^2+2Z^2>=2yz+2xz+2xy然后将右面的式子移到左边得
2X^2+2y^2+2Z^2-2yz-2xz-2xy>=0整理得
(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2>=0，因为(x-y)^2，(x-z)^2，(y-z)^2均>=0所以(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2>=0，所以x^2+y^2+z^2>=yz+xz+xy
如图。