作业帮高数微分方程问题.图中怎么解出的特解,求说明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 13:31:17
高数微分方程问题.图中怎么解出的特解,求说明.
高数微分方程问题.图中怎么解出的特解,求说明.
高数微分方程问题.图中怎么解出的特解,求说明.
这是标准的特解形式的设法：
右边f(x)=-xsinx+2cosx
i是单根,sinx,cosx的系数多项式-x,2的最高次是1次,
故特解形式：y*=x[(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx]
括号外面的x是因为i单根
(Ax+B),(Cx+D)是因为-x,2的最高次是1次,要统一设为一次多项式
如果右边f(x)=-xsinx+2x²cosx (最高次是2次)
那么y*=x[(Ax²+Bx+C)cosx+(Dx²+Ex+F)sinx]
如果右边f(x)=-sinx+2cosx (常数就是0次）
那么y*=x[Acosx+Bsinx]
就是把设出来的特戒形式代回原方程求出ABCD啊。
y*=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx=(Ax^2+Bx)cosx+(Cx^2+Dx)sinx
y*'=(2Ax+B)cosx-(Ax^2+Bx)sinx+(2Cx+D)sinx+(Cx^2+Dx)cosx
=(Cx^2+(2A+D)x+B)cosx+(-Ax^2+(-B+2C)x+D)sinx
y*'...
全部展开
就是把设出来的特戒形式代回原方程求出ABCD啊。
y*=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx=(Ax^2+Bx)cosx+(Cx^2+Dx)sinx
y*'=(2Ax+B)cosx-(Ax^2+Bx)sinx+(2Cx+D)sinx+(Cx^2+Dx)cosx
=(Cx^2+(2A+D)x+B)cosx+(-Ax^2+(-B+2C)x+D)sinx
y*''=(2Cx+2A+D)cosx-(Cx^2+(2A+D)x+B)sinx+(-2Ax+(-B+2C))sinx+(-AX^2+(-B+2C)x+D)cosx
=(-Ax^2+(-B+4C)x+2A+2D)cosx+(-Cx^2+(-4A-D)x+(-2B+2C))sinx
所以4Cx+2A+2D=2,-4Ax+(-2B+2C)=-x
解得A=1/4,B=C=0,D=3/4
所以y*=x^2/4*cosx+3x/4*sinx
收起