设二次函数f(x)满足f(-1)=0,且对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2(x^2+1)成立(1)求f(1)的值(2)求函数f(x)的表达式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 09:06:20
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设二次函数f(x)满足f(-1)=0,且对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2(x^2+1)成立(1)求f(1)的值(2)求函数f(x)的表达式
设二次函数f(x)满足f(-1)=0,且对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2(x^2+1)成立
(1)求f(1)的值
(2)求函数f(x)的表达式
设二次函数f(x)满足f(-1)=0,且对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2(x^2+1)成立(1)求f(1)的值(2)求函数f(x)的表达式
1,因为对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2(x^2+1)成立,那么对于x=1自然也成立了,所以有1<=f(1)<=1于是就有f(1)=1
2,因为f(x)是二次函数,所以不妨设f(x)=ax^2+bx+c因为f(1)=1,f(-1)=0所以有a+b+c=1,a-b+c=0于是可以得到a+c=1/2,b=1/2所以有f(x)=ax^2+1/2x+1/2-a.
因为对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2(x^2+1)成立,所以有x=
(2)(a-1/2)x^2+1/2x-a<=0恒成立,所以有a-1/2<0,1/4+4a(a-1/2)<=0,于是可以解得,a=1/4
所以有a=1/4,c=1/4于是有二次函数的方程为y=1/4x^2+1/2x+1/4.
1.令x=1而得到1≤f(1)≤1/2(1+1).故必有f(1)=1
2.令f(x)-x=g(x)。则g(x)仍是二次函数。且题目告诉我们g(x)>=0对任意实数x都成立。这说明g(x)这条抛物线开口向上,与x轴相切或者相离。但是g(1)=f(1)-1=0,说明只能是相切了。所以g(x)=a(x-1)^2,其中a是某个正数。于是f(x)=a(x-1)^2+x.代入f(-1)=0得a=1/4...
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1.令x=1而得到1≤f(1)≤1/2(1+1).故必有f(1)=1
2.令f(x)-x=g(x)。则g(x)仍是二次函数。且题目告诉我们g(x)>=0对任意实数x都成立。这说明g(x)这条抛物线开口向上,与x轴相切或者相离。但是g(1)=f(1)-1=0,说明只能是相切了。所以g(x)=a(x-1)^2,其中a是某个正数。于是f(x)=a(x-1)^2+x.代入f(-1)=0得a=1/4。于是f(x)=(x+1)^2/4.检验知道这确实是题目的解
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