已知底面长为根号2,各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/06 01:32:04

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已知底面长为根号2,各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积
已知底面长为根号2,各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积

如图左,取AB、BC中点D、F,

连结AF、CD交于H,

则H为正△的重心,

连结PH,则圆心O必在直线PH上,

∵AB=BC=CA=根号2,

∴AF=根号2*根号3/2=根号6/2,

AH=2/3*AF=根号6/3

∵∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,

∴PA=PB=PC=1

∴PH=根号3/3

如图右,作AP得中垂线EO,与AP交于E,与直线PH交于O,

由△OPE∽△APH得

OP/AP=PE/PH,

∴半径OP=AP*PE/PH=(1/2)*1/(根号3/3)=根号3/2,

∴S球面=4π*(根号3/2)²=3π

底面边长为根号2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面因为此三棱锥是正三棱锥，所以，由底面边长=√2 得侧棱长=1 。由于正

另一解法：

设P-ABC是球O的内接三棱锥如图。过P、A、B三点的截面与球面形成小圆。因各侧面均为直角三角形，且为正三棱锥，所以三棱锥P-ABC的侧面两两垂直，均为等腰直角三角形。因底面边长为√2，故棱长为1。由于PA⊥PB⊥PC,所以，可在球O中作出其内接直四棱柱PAEB-CDGF.由于PA=PB=PC=1，所以是正方体。体对角线BD、PG是球O的直径。设球半径为R.则PA^2+PB^2+PC^2=(2R)^2=4R^2=1+1+1=3，R^2=3/4。所以，球0的表面积=（4πR^2）=3π。