在三角形ABC中,过A作BC边的中线AD,再过A作BC边的高AE,已知AD、AE三等分角BAC,求角B
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 13:12:57
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在三角形ABC中,过A作BC边的中线AD,再过A作BC边的高AE,已知AD、AE三等分角BAC,求角B
在三角形ABC中,过A作BC边的中线AD,再过A作BC边的高AE,已知AD、AE三等分角BAC,求角B
在三角形ABC中,过A作BC边的中线AD,再过A作BC边的高AE,已知AD、AE三等分角BAC,求角B
30度
提示:AE是BC边上的高,AE平分∠BAD,则DE=BE=1/2BD=1/2CD,则CE=3DE
tan∠DAE=DE/AE,tan∠CAE=CE/AE=3DE/AE,则tan∠CAE=3tan∠DAE
又因为tan∠CAE=tan2∠DAE=2tan∠DAE/(1-tan∠DAE*tan∠DAE)
0<∠DAE<60°,则tan∠DAE=三分之根号三,则∠BAE=∠DAE=30°
从而,∠B=90°-∠BAE=60°
设∠BAD=∠DAE=∠CAE=α,AE=h
i若BE>BD
DE=AEtan∠DAE=htanα
BE=AEtan(∠BAD+∠DAE)=htan(2α)
CE=AEtan∠CAE=htanα=DE,E为DC中点
DC=DE+CE=2htanα
∵D为BC中点
∴BD=DC=BE-DE将上面4式代入
∴2htanα=htan(2α)...
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设∠BAD=∠DAE=∠CAE=α,AE=h
i若BE>BD
DE=AEtan∠DAE=htanα
BE=AEtan(∠BAD+∠DAE)=htan(2α)
CE=AEtan∠CAE=htanα=DE,E为DC中点
DC=DE+CE=2htanα
∵D为BC中点
∴BD=DC=BE-DE将上面4式代入
∴2htanα=htan(2α)-htanα
利用三角函数
3tanα=2tanα/(1-tan2α)
tan2α=1/3由于α小于90度,tanα只能为正1/√3
α为30度,∠BAE=2α=60度
∠B=90-∠BAE=30度
Ii若BE
∠B=90-∠BAE=60度
故∠B为30度或60度
收起