作业帮设a,b,c都是正数,且ab+bc+ca=1,求证a+b+c大于或等于根号3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 13:26:10
设a,b,c都是正数,且ab+bc+ca=1,求证a+b+c大于或等于根号3
设a,b,c都是正数,且ab+bc+ca=1,求证a+b+c大于或等于根号3
设a,b,c都是正数,且ab+bc+ca=1,求证a+b+c大于或等于根号3
首先,设a>=b>=c
那么(a-b)^2 >= 0推出a^2+b^2>=2ab
同理由(a-c)^2 >= 0,(b-c)^2 >= 0推出a^2+c^2>=2ac,b^2+c^2>=2bc
所以a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ac
而(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2( ab+bc+ac) >= 3( ab+bc+ac) = 3
所以a+b+c大于或等于根号3得证
柯西不等式
x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）
(x1+y1+z1)*(a+b+c)>=[(x1*a)^(1/2)...
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柯西不等式
x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和）
(x1+y1+z1)*(a+b+c)>=[(x1*a)^(1/2)+(y1*b)^(1/2)+(z1*c)^(1/2)]^2
套入题目中，要证a+b+>c=根号3，就证（a+b+c)^2>=3 因三者都为正数
那么展开得到a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)>=3 结合ab+bc+ac=1
就要证 a^2+b^2+c^2>=1
由柯西不等式有（a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2
展开得到3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)
就有a^2+b^2+c^2>=1
所以原命题得证
应该有更方便点的。。忘记了~~
楼上的比我简单~~
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