作业帮如图所示,已知P是正方形ABCD内一点,且AP：BP：CP=1:2:3.求证∠APB=135°
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/11 22:28:10
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如图所示,已知P是正方形ABCD内一点,且AP：BP：CP=1:2:3.求证∠APB=135°
如图所示,已知P是正方形ABCD内一点,且AP：BP：CP=1:2:3.求证∠APB=135°
如图所示,已知P是正方形ABCD内一点,且AP：BP：CP=1:2:3.求证∠APB=135°
分析：把△APB绕B点顺时针旋转90°到△BP′C,连结PP′,运用勾股定理求出PP′的长,在△PP′C中,由勾股定理识别△PP′是直角三角形．
将△PAB绕点B顺时针旋转90°,则AB边到BC,BP边到BP′,连接PP′,则P′C＝PA∠PBP′＝90°,BP＝BP′,∴∠BP′P＝45°
又∵PA＝a,PB＝2a,则P′B＝2a．
由勾股定理,得BP2＋P′B2＝PP′2,∴PP′2＝＝8a2．
在△PP′C中,∵PC＝3a,P′C＝PA＝a,∴PP′2＋P′C2＝9a2＝PC2．
∴PP′2＋P′C2＝PC2,∴∠PP′C＝90°．
∴∠APB＝∠BP′C＝45°＋90°＝135°