已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 16:43:12
已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值
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已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值
已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值

已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值
我给提供2种方法吧,现在要去上班,晚上回来再补充,先占个位!
下班了...
一个方法和上面的朋友的方法相同（英雄所见略同啊）
方法一：用到一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（坐标法,向量法,余弦定理均可证明）
把平行四边形切去一半,剩下三角形和中线,由上面的结论可得,|AP|^2+|BP|^2＝(4PO^2+AB^2)/2,其中o为坐标原点.故,要想所求平方和最小,只需PO最小（AB=2为已知）
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值＝(36+4)/2=20
方法二（和方法一殊途同归）
设P点坐标为（x,y）,则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2
要想上式最小,只需PO最小,显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20

P点用sin和cos来设，这样就一个参数角

本题要用一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（用余弦定理可证）
|AP|^2+|BP|^2＝1/2(4PO^2+AB^2)
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值＝1/2(36+4)=20

已知圆C：x²+y²－2x－4y－3=0,直线L：y... 已知点P(x,y）是圆C：x^2+y^2+4x+3=0上任意一点,求y/x的取值范围. 已知圆C:x^2+(y-1)^2=1,求3x+4y的最值 已知直线3x+4y+c=0与圆(x-1)平方+(y+2)平方=9过程 已知圆x^2+y^2+2x-4y+3=0,若圆C切线在X轴和Y轴上截距绝对值相等,求切线方程 已知P(x,y)为圆C:(x+3)^2+(y-4)^2=1上任意一点,求x-2y最值 已知圆c:x^2+y^2-4x-14y+45=0,则（y-3）/（x+2）的最大值为? 已知P(x,y)为圆C:(x+3)^2+(y-4)^2=1上任意一点,求y-6/x的最值 已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0,直线L：x+y+3=0,求直线L已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0,直线L：x+y+3=0,求直线L交圆C所得弦AB的中点坐标和弦长|AB| 已知圆C:x^2+y^2+4x-12y+39=0,若直线l的方程C为:3x-4y+5=0,则圆C关于直线l的对称C'的方程是 ,已知圆C:x^2+y^2-4x-14y+45=0及点Q(6,3)若M(x,y)为圆C上任一点,求K=(y-3)/(x-6)的最大值和最小值? 已知实数x,y满足x^2+y^2-6x-8y+21=0,若4x+3y+c 已知圆C：x^2+y^2=4,直线l：3x-4y+5=0,求直线l被圆C所截的弦长 已知关于x,y的方程C:x^2+y^2-2x-4y+m=0,当m为何值时,方程c表示圆? 已知圆C：x²+y²-2x+4y=20,直线x-2y=0被圆C截得的弦长 已知圆C：x²+y²-2x+4y=20,直线x-2y=0被圆C截得的弦长 已知圆面C:(x-a)^2+y^2 已知圆x²+y²-4x+4y+8-k=0关于直线x-y-2=0对称的圆是圆C,且圆C与直线3x+已知圆x²+y²-4x+4y+8-k=0关于直线x-y-2=0对称的圆是圆C，且圆C与直线3x+4y-40=0相切，求实数k的值.