已知a,b为向量,a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式|ka+b|=√3|a-kb|,其中k<0.⑴用k表示a·b;⑵求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角θ的大小.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/30 00:26:02
![已知a,b为向量,a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式|ka+b|=√3|a-kb|,其中k<0.⑴用k表示a·b;⑵求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角θ的大小.](/uploads/image/z/4033142-62-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%E4%B8%BA%E5%90%91%E9%87%8F%2Ca%3D%28cos%CE%B1%2Csin%CE%B1%29%2Cb%3D%28cos%CE%B2%2Csin%CE%B2%29%2Ca%E4%B8%8Eb%E4%B9%8B%E9%97%B4%E6%9C%89%E5%85%B3%E7%B3%BB%E5%BC%8F%7Cka%2Bb%7C%3D%E2%88%9A3%7Ca-kb%7C%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADk%EF%BC%9C0.%E2%91%B4%E7%94%A8k%E8%A1%A8%E7%A4%BAa%C2%B7b%EF%BC%9B%E2%91%B5%E6%B1%82a%C2%B7b%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E6%AD%A4%E6%97%B6%2Ca%E4%B8%8Eb%E7%9A%84%E5%A4%B9%E8%A7%92%CE%B8%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F.)
已知a,b为向量,a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式|ka+b|=√3|a-kb|,其中k<0.⑴用k表示a·b;⑵求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角θ的大小.
已知a,b为向量,a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式|ka+b|=√3|a-kb|,其中k<0.
⑴用k表示a·b;
⑵求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角θ的大小.
已知a,b为向量,a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式|ka+b|=√3|a-kb|,其中k<0.⑴用k表示a·b;⑵求a·b的最小值,并求此时,a与b的夹角θ的大小.
|ka+b|=√3|a-kb|
==>(kcosα+cosβ)^2+(ksinα+sinβ)2=3[(cosα-kcosβ)^2+(sinα-ksinβ)^2]
k^2+1+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)=3[k^2+1-2k(cosαcosβ+sinαsinβ)]
8k(cosαcosβ+sinαsinβ)=2k^2+2
4k(cosαcosβ+sinαsinβ)=k^2+1
(1).ab=cosαcosβ+sinαsinβ=(k^2+1)/4k(k>0)
(2).ab=(k^2+1)/4k=(k/4)+(1/4k)>=2根号下(k/4*1/4k)=1/2
所以ab>=1/2,且当k/4=1/4k时,可以取"="
即k=1(k>0)时,ab取最小值1/2
ab=1/2=|a|*|b|*cosa=1*1*cosa
cosa=1/2
所以a=60度.
ab的最小值是1/2,此时a与b所成的角的大小是60度