【高考】过x轴上一点P向圆x^2+(y-2)^2=1做切线,切点分别为A、B,则三角形PAB面积的最小值是_____
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/30 09:30:36
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【高考】过x轴上一点P向圆x^2+(y-2)^2=1做切线,切点分别为A、B,则三角形PAB面积的最小值是_____
【高考】过x轴上一点P向圆x^2+(y-2)^2=1做切线,切点分别为A、B,则三角形PAB面积的最小值是_____
【高考】过x轴上一点P向圆x^2+(y-2)^2=1做切线,切点分别为A、B,则三角形PAB面积的最小值是_____
首先证明:当点P与原点O重合时,△PAB的面积最小.
令圆心为C.
过原点O作圆C的切线,切圆C于E,过E作D⊥OC于D,在x轴上原点外任取一点Q,过Q作圆C的一条切线,切圆C于R,再过R作RS⊥QC交QC于S.
显然,由直角△OCQ得:QC>OC,而RC=EC,通过勾股定理,容易推出:QR>OE.
由锐角三角函数定义,得:cos∠QCR=RC/QC, cos∠OCE=EC/OC.
可见:cos∠OCE>cos∠QCR,锐角的余弦函数是减函数,所以:∠QCR>∠OCE,
再由锐角三角函数定义,得:sin∠QCR=RS/RC, sin∠OCE=ED/EC,
锐角的正弦函数是增函数,所以:sin∠QCR>sin∠OCE,即:RS/RC>ED/EC,得:RS>ED
容易证得:∠QRS=∠QCR, ∠OED=∠OCE,所以:∠QRS>∠OED.
考虑到:△QSR的面积=0.5QR×RS×sin∠QRS, △ODE的面积=0.5OE×ED×sin∠OED
结合:QR>OE,RS>ED,∠QRS>∠OED,得:△QSR的面积>△ODE的面积.
设由O作圆C切线的另一切点为F,由Q作圆C切线的另一切点为G.
则容易证得:△QSR的面积=△QGR面积的一半, △ODE的面积=△QFE面积的一半,
得:△QGR的面积>△QFE的面积.
从而说明:当点P与原点O重合时,△PAB的面积最小.
当点P与原点O重合时,PC=2,AC=1,可见∠APB/2=30°,得∠APB=60°.
由勾股定理,得:PA=√3.
于是:此时的△PAB的面积=0.5PA^2×sin∠APB=3√3/4.
即:△PAB面积的最小值是3√3/4.