在平行四边形ABCD中,求证:|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²=|AC|²+|BD|

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 18:17:41
在平行四边形ABCD中,求证:|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²=|AC|²+|BD|
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在平行四边形ABCD中,求证:|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²=|AC|²+|BD|
在平行四边形ABCD中,求证:|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²=|AC|²+|BD|

在平行四边形ABCD中,求证:|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²=|AC|²+|BD|
如果能用向量知识的话,是很简单的.
|AC|^2+|BD|^2=|AB+BC|^2+|AB-AD|^2=|AB+BC|^2+|AB-BC|^2=(AB+BC)(AB+BC)+(AB-BC)(AB-BC)=AB^2+2AB*BC+BC^2+AB^2-2AB*BC+BC^2=2AB^2+2BC^2=|AB|^2+|CD|^2+|BC|^2+|AD|^2.
里面*都是向量点积的意思.

楼上的提出了可以用向量法，这里再提供一种三角函数证法供参考：
对△ABC应用余弦定理：|AC|²=|AB|²+|BC|²-2*|AB|*|BC|*cos(∠ABC)；
对△BCD应用余弦定理：|BD|²=|CD|²+|BC|²-2*|CD|*|BC|*cos(∠BDC)；
考虑到平行四边形对边相等（BC=DA）、邻...

全部展开

楼上的提出了可以用向量法，这里再提供一种三角函数证法供参考：
对△ABC应用余弦定理：|AC|²=|AB|²+|BC|²-2*|AB|*|BC|*cos(∠ABC)；
对△BCD应用余弦定理：|BD|²=|CD|²+|BC|²-2*|CD|*|BC|*cos(∠BDC)；
考虑到平行四边形对边相等（BC=DA）、邻角互补（cos(∠ABC)=-cos(∠BDC)），故有：
|AC|²+|BD|²=|AB|²+|BC|²+|CD|²+|BC|²=|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²

收起

在平行四边形ABCD中,E.F分别为AB.CD中点,求证;四边形EGFH为平行四边形. 在四边形ABCD中,AB=CD,BC平行于AD,求证：四边形ABCD是平行四边形 在平行四边形ABCD中,O为AB的中点,而且∠AOD=∠BOC,求证：平行四边形ABCD是矩形 在四边形ABCD中,AB平行CD,且AB+BC=CD+DA,求证四边形ABCD是平行四边形. 在平行四边形ABCD中,AB=AD,三角形CEF是正三角形,求证：AE=AF 在平行四边形ABCD中,AC=根号2AB,求证 角COB=角DAB 在平行四边形ABCD中,AC=√2AB,求证:角COB=角DAB 在平行四边形ABCD中,点F、E分别在AB、CD上,DF=BE,求证四边形DEBF是平行四边形. 平行四边形四边形ABCD中,E,F分别在AB.DC的中点,AF,DE交于G,求证：平行四边形EHFG 在平行四边形ABCD中,已知MN是和AB和DC的中点,求证：四边形BNDM是平行四边形 在平行四边形ABCD中,AM=2/3AB,CN=2/3CD.求证：四边形AMCN是平行四边形. 在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,求证：四边形AECF是平行四边形. 如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,求证：四边形AECF是平行四边形 在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,ED=EC.求证四边形ABCD是矩形 在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB//AD,AO//CO 求证：四边形ABCD是平行四边形 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,求证,四边形ABCD是平行四边形 在平行四边形ABCD中,AB=5,AD=12,AC=13.求证：四边形ABCD是矩形 在平行四边形ABCD中,点E在AB的延长线上,且EC平行BD,求证BE=AB