关于数列极限的证明,已知X1=1,Xn+1=√(1+Xn),当中n大于或等于1(X后面的数字和字母是下标).(1)证明Xn是有界数列.(2)判断Xn是递增还是递减数列.如何利用2阶数学归纳法证明(1)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/02 03:50:03
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关于数列极限的证明,已知X1=1,Xn+1=√(1+Xn),当中n大于或等于1(X后面的数字和字母是下标).(1)证明Xn是有界数列.(2)判断Xn是递增还是递减数列.如何利用2阶数学归纳法证明(1)
关于数列极限的证明,
已知X1=1,Xn+1=√(1+Xn),当中n大于或等于1(X后面的数字和字母是下标).
(1)证明Xn是有界数列.
(2)判断Xn是递增还是递减数列.
如何利用2阶数学归纳法证明(1)
关于数列极限的证明,已知X1=1,Xn+1=√(1+Xn),当中n大于或等于1(X后面的数字和字母是下标).(1)证明Xn是有界数列.(2)判断Xn是递增还是递减数列.如何利用2阶数学归纳法证明(1)
用数学归纳法来解
(1)
x1 =1 ,x 2 = √(1+Xn)= √2
假设 x{k}满足:1
(关键是找出极限,设为A(A>0),则A=√(1+A),A=(1+√5)/2)
(1)假设x[n]<(1+√5)/2
那么x[n+1]=√(1+x[n])<√(6+2√5)/2=(1+√5)/2
显然x[n]>1
所以1
所以x[n]单增
如图:
先考虑Xn是递增还是递减,X(n+1)^2-Xn^2=1+Xn-Xn^2=[(√5+1)/2-Xn][(√5-1)/2+Xn],Xn恒正,要向判断出Xn递增或递减,需要判断(√5+1)/2与Xn的大小,由此即可得到Xn的有界的证明方法。
1、Xn>0是显然的。X1=1,X2=√2,X3=√(1+√2),计算一下可知X1,X2,X3都小于(√5+1)/2。所以利用归纳法,如果Xn...
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先考虑Xn是递增还是递减,X(n+1)^2-Xn^2=1+Xn-Xn^2=[(√5+1)/2-Xn][(√5-1)/2+Xn],Xn恒正,要向判断出Xn递增或递减,需要判断(√5+1)/2与Xn的大小,由此即可得到Xn的有界的证明方法。
1、Xn>0是显然的。X1=1,X2=√2,X3=√(1+√2),计算一下可知X1,X2,X3都小于(√5+1)/2。所以利用归纳法,如果Xn<(√5+1)/2,由递推公式,X(n+1)<√(1+(√5+1)/2)=(√5+1)/2。
所以,0<Xn<(√5+1)/2。Xn有界。
2、X(n+1)^2-Xn^2=1+Xn-Xn^2=[(√5+1)/2-Xn][(√5-1)/2+Xn]>0,所以X(n+1)>Xn,Xn递增。
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